問題は、BE:EC = s:(1-s) となる点Eがあり、$\overrightarrow{AE} = (1-s)\overrightarrow{b} + s\overrightarrow{c}$ と表される。また、IE⊥BCであることから $\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ が成り立つ。ここで、$\overrightarrow{IE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AI} = (\frac{5}{9} - s)\overrightarrow{b} + (s - \frac{1}{3})\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ である。この条件から s の値を求め、$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表す。また、 $|\overrightarrow{b}| = 3$, $|\overrightarrow{c}| = 4$, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \frac{21}{2}$ が与えられている。

1. 問題の内容

問題は、BE:EC = s:(1-s) となる点Eがあり、$\overrightarrow{AE} = (1-s)\overrightarrow{b} + s\overrightarrow{c}$ と表される。また、IE⊥BCであることから $\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ が成り立つ。ここで、$\overrightarrow{IE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AI} = (\frac{5}{9} - s)\overrightarrow{b} + (s - \frac{1}{3})\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ である。この条件から s の値を求め、$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表す。また、 $|\overrightarrow{b}| = 3$, $|\overrightarrow{c}| = 4$, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \frac{21}{2}$ が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ の式に、$\overrightarrow{IE} = (\frac{5}{9} - s)\overrightarrow{b} + (s - \frac{1}{3})\overrightarrow{c}$ と $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ を代入する。

$[(\frac{5}{9} - s)\overrightarrow{b} + (s - \frac{1}{3})\overrightarrow{c}] \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = 0$

これを展開すると、

$(\frac{5}{9} - s)\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - (\frac{5}{9} - s)|\overrightarrow{b}|^2 + (s - \frac{1}{3})|\overrightarrow{c}|^2 - (s - \frac{1}{3})\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$

整理すると、

$(s - \frac{5}{9})|\overrightarrow{b}|^2 + (\frac{8}{9} - 2s)\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + (s - \frac{1}{3})|\overrightarrow{c}|^2 = 0$

ここに $|\overrightarrow{b}| = 3$, $|\overrightarrow{c}| = 4$, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \frac{21}{2}$ を代入すると、

$9(s - \frac{5}{9}) + (\frac{8}{9} - 2s)\frac{21}{2} + 16(s - \frac{1}{3}) = 0$

$9s - 5 + \frac{84}{9} - 21s + 16s - \frac{16}{3} = 0$

$-5 + \frac{28}{3} - \frac{16}{3} + 4s = 0$

$4s - 5 + \frac{12}{3} = 0$

$4s - 5 + 4 = 0$

$4s - 1 = 0$

$s = \frac{1}{4}$

$\overrightarrow{AE} = (1-s)\overrightarrow{b} + s\overrightarrow{c}$ に $s = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$\overrightarrow{AE} = (1 - \frac{1}{4})\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c} = \frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{1}{4}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$