練習8: $\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める。 練習9: $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

練習8: $\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める。

練習9: $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

練習8：

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、

$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos{\theta} > 0$。

したがって、$\cos{\theta} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

練習9：

$\tan{\theta} = 2$ より、$\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = 2$。すなわち、$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、

$(2\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$4\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$5\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos{\theta} < 0$。

したがって、$\cos{\theta} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin{\theta} = 2\cos{\theta} = 2(-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

練習8：

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

練習9：

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$