正七角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

これは、7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

したがって、7個から3個を選ぶ組み合わせは、

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

これは、7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

したがって、7個から4個を選ぶ組み合わせは、

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) 対角線の本数

n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。

正七角形なので、$n = 7$ を代入すると、

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 35個

(3) 14本