三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $AC=5$とする。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする時、$BD$と$AD$の値を求め、角BACの二等分線と三角形ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする時、$AE$の値を求め、三角形ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとし、円Pの半径を$r$とする。さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。この時、$AP$と$PG$を$r$で表し、方べきの定理より$r$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $AC=5$とする。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする時、$BD$と$AD$の値を求め、角BACの二等分線と三角形ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする時、$AE$の値を求め、三角形ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとし、円Pの半径を$r$とする。さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。この時、$AP$と$PG$を$r$で表し、方べきの定理より$r$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 3:5$となる。

$BC=4$であるから、$BD = \frac{3}{3+5} \times 4 = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2}$。

次に、$AD$を求める。三角形ABCにおいて、余弦定理より

$cosB = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{3^2+4^2-5^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{9+16-25}{24} = 0$

よって角Bは直角。三角形ABDにおいて、$AD^2=AB^2+BD^2-2\times AB\times BD\times cosB$

$AD^2=3^2+(\frac{3}{2})^2=9+\frac{9}{4}=\frac{36+9}{4}=\frac{45}{4}$

$AD=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。

また、三角形AECにおいて、$\angle EAC=\angle EAB=\angle ECB$となり、三角形AECは二等辺三角形となるので、$AE=EC$。

$AB=3, BC=4, AC=5$より、三角形ABCは角Bを直角とする直角三角形である。

三角形ABCの外接円の半径は$AC/2 = 5/2$。

$\angle EAC = \angle EBC$

$\angle ACE = \angle ABE = 90^\circ$

$\angle AEC=180^\circ-(\angle EAC+\angle ACE)$

三角形AECは二等辺三角形で$\angle AEC = \angle ECA$

$\angle EAC=\angle BAC/2$

$\sin(\angle BAC)=4/5, \cos(\angle BAC)=3/5$

$\cos(\angle BAC/2)=\sqrt{\frac{1+3/5}{2}}=\sqrt{\frac{8/5}{2}}=\sqrt{4/5}=2/\sqrt{5}$

$\sin(\angle BAC/2)=\sqrt{\frac{1-3/5}{2}}=\sqrt{\frac{2/5}{2}}=\sqrt{1/5}=1/\sqrt{5}$

三角形AECにおいて正弦定理を用いると、$\frac{AC}{\sin\angle AEC}=\frac{AE}{\sin\angle ACE}$

$\frac{5}{\sin\angle AEC}=\frac{AE}{1}$

$\frac{AE}{\sin 90^\circ}=2R = 5$より、$AE = 5$。

円Pの半径を$r$とおくと、$AP = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + r^2}$

$AP = \sqrt{(3-r)^2+(4-r)^2} =\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

三角形ABCの外接円の半径は$R = 5/2$である。$PF = r$であり、$OF = 5/2$。$OP = 5/2-r$

$PG=OG-OP=5/2-(5/2-r)=r$

$AP^2 = r^2+(\frac{5}{2})^2=9+(16-r^2)$

$AP = R-r=\frac{5}{2}-r=\sqrt{r^2+\frac{9}{4}}$

$\frac{9}{4} + r^2 = (\frac{5}{2}-r)^2 = (\frac{5}{2})^2 - 2 \times \frac{5}{2} \times r + r^2$

$\frac{9}{4}=\frac{25}{4}-5r$

$5r = \frac{25-9}{4}=\frac{16}{4}=4$

$r=4/5$

3. 最終的な答え

$BD = \frac{3}{2}$

$AD = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

$AE = 5$

$AP = \sqrt{25/4+16/25}=\sqrt{625+64}/100=\frac{\sqrt{689}}{10}$

$AP= \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{689}}{10}$

$AP = \frac{\sqrt{689}}{10}$

$PG=R-PF=5/2-(\frac{5}{2}-r) = r$

$PG=4/5$

$AP=\sqrt{ク}$なので$AP=5/2-r$

$PG=5/2-(5/2-r)=r$

よって、$AP=\frac{5}{2}-r$

$PG=5/2-r$

$PG = ケ - r$

方べきの定理より、$AP \cdot PG = DP \cdot PC$

$r = \frac{3}{5}$