ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たしている。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに $t$ が実数全体を動くとき、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たしている。このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに $t$ が実数全体を動くとき、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 7^2$ であるから、

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 49$

$|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 49$

$5^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 \cdot 3^2 = 49$

$25 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 36 = 49$

$61 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 49$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求める。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2$

$= 5^2 + 2t \cdot 3 + t^2 \cdot 3^2$

$= 25 + 6t + 9t^2$

$= 9t^2 + 6t + 25$

$= 9(t^2 + \frac{2}{3}t) + 25$

$= 9(t + \frac{1}{3})^2 - 9 \cdot \frac{1}{9} + 25$

$= 9(t + \frac{1}{3})^2 - 1 + 25$

$= 9(t + \frac{1}{3})^2 + 24$

$t = -\frac{1}{3}$ のとき最小値 $24$ をとる。

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $2\sqrt{6}$

そのときの $t$ の値は $-\frac{1}{3}$