三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=6$, $CA=4$であり、辺ACの中点をMとする。辺BCのCを超える延長線上に点Dをとり、直線DMと辺ABの交点をEとする。このとき、三角形ABCと三角形AMEが相似である。 (1) 線分AEの長さを求めよ。 (2) 線分CDの長さを求めよ。 (3) 直線BMと線分ADの交点をFとするとき、$\frac{DF}{FA}$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=6$, $CA=4$であり、辺ACの中点をMとする。辺BCのCを超える延長線上に点Dをとり、直線DMと辺ABの交点をEとする。このとき、三角形ABCと三角形AMEが相似である。

(1) 線分AEの長さを求めよ。

(2) 線分CDの長さを求めよ。

(3) 直線BMと線分ADの交点をFとするとき、$\frac{DF}{FA}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC \sim \triangle AME$より、対応する辺の比は等しいので、

$\frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AB}$

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$\frac{AE}{4} = \frac{2}{5}$

$AE = \frac{8}{5}$

(2) $\triangle ABC \sim \triangle AME$より、対応する辺の比は等しいので、

$\frac{BC}{ME} = \frac{AC}{AE}$

$ME = \frac{AE \times BC}{AC} = \frac{\frac{8}{5} \times 6}{4} = \frac{12}{5}$

メネラウスの定理を$\triangle ABD$と直線EMについて適用すると、

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DM}{MA} = 1$

$EB = AB - AE = 5 - \frac{8}{5} = \frac{17}{5}$

$\frac{AE}{EB} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{8}{17}$

$\frac{BC}{CD} \times \frac{DM}{MA} = \frac{17}{8}$

$\frac{DM}{MA} = \frac{CD + MC}{2}$

$MA=2$, $MC=2$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DM}{MA} = 1$

$\frac{8}{17} \times \frac{6}{CD} \times \frac{CD+2}{2} = 1$

$\frac{8}{17} \times \frac{6(CD+2)}{2CD} = 1$

$\frac{24(CD+2)}{17CD} = 1$

$24CD + 48 = 17CD$

$7CD = -48$

これは明らかに間違っている。

$\triangle AME \sim \triangle ABC$より、$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{ME}{BC}$

$\frac{2}{5} = \frac{AE}{4}=\frac{ME}{6}$

$AE = \frac{8}{5}$, $ME = \frac{12}{5}$

メネラウスの定理より、$\triangle BCE$と直線ADについて

$\frac{CD}{DB} \times \frac{BA}{AE} \times \frac{EM}{MC} = 1$

$\frac{CD}{CD+6} \times \frac{5}{8/5} \times \frac{12/5}{2} = 1$

$\frac{CD}{CD+6} \times \frac{25}{8} \times \frac{6}{5} = 1$

$\frac{CD}{CD+6} \times \frac{15}{4} = 1$

$15CD = 4CD + 24$

$11CD = 24$

$CD = \frac{24}{11}$

(3) チェバの定理より

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{8/5}{17/5} \times \frac{6}{24/11} \times \frac{AF}{FD} = 1$

$\frac{8}{17} \times \frac{66}{24} = \frac{AD}{DF}$

$\frac{DF}{FA} = \frac{8}{17} \times \frac{11}{4} = \frac{22}{17}$

$\frac{DF}{FA} = \frac{22}{17}$

3. 最終的な答え

(1) $AE = \frac{8}{5}$

(2) $CD = \frac{24}{11}$

(3) $\frac{DF}{FA} = \frac{17}{22}$