縦が $a$ cm、横が $b$ cmの長方形を、縦と横が交互に重なるように並べた図形について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2番目の図形と3番目の図形の周の長さの差を、$a, b$ を使った式で表します。 (2) 10番目の図形の周の長さを、$a, b$ を使った式で表します。

1. 問題の内容

縦が $a$ cm、横が $b$ cmの長方形を、縦と横が交互に重なるように並べた図形について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2番目の図形と3番目の図形の周の長さの差を、$a, b$ を使った式で表します。

(2) 10番目の図形の周の長さを、$a, b$ を使った式で表します。

2. 解き方の手順

(1) 2番目の図形の周の長さを求めます。

2番目の図形の周の長さは、$a + b + a + b + a + b + a + b = 4a + 4b$ です。

3番目の図形の周の長さを求めます。

3番目の図形の周の長さは、$a + b + a + b + a + b + a + b + a + b = 6a + 6b$ です。

2番目と3番目の図形の周の長さの差を計算します。

3番目の図形の周の長さから2番目の図形の周の長さを引きます。

$(6a + 6b) - (4a + 4b) = 2a + 2b$

(2) $n$ 番目の図形の周の長さを考えます。

$n$が偶数のとき、周の長さは$(n+1)a + (n+1)b = (n+1)(a+b)$

$n$が奇数のとき、周の長さは$(n+1)a + (n+1)b = (n+1)(a+b)$

どちらの場合も$n$番目の図形の周の長さは$(n+1)a + (n+1)b$となります。

10番目の図形の周の長さを求めます。

$n = 10$ のとき、$10 + 1 = 11$ より、周の長さは $2 \times 11 \times (a + b)$ ではなく、$10$ 番目の図形の周の長さは $(10+1) \times (a+b)$ ではありません。

長方形が$n$個並んだとき、横方向に長方形が$n/2$個縦方向に$n/2$個並ぶので周の長さは$2*(長方形の縦の長さ+長方形の横の長さ)*(並んだ個数+1)$

したがって、$n=10$の時、周の長さは $(n+2)(a+b)$ で求められる。

具体的に計算する。

1番目の周の長さは $4(a+b)$

2番目の周の長さは $4a+4b$

3番目の周の長さは $6a+6b$

4番目の周の長さは $8a+8b$

と推測できるので、

$n$ 番目の周の長さは $2(n+1)(a+b)$ となる。

したがって10番目の周の長さは

$2(10+1)(a+b) = 2(11)(a+b) = 22(a+b)$

3. 最終的な答え

(1) $2a + 2b$

(2) $22(a+b)$