四面体OABCにおいて、三角形OABの重心をD、線分DCを2:1に内分する点をE、直線OEが平面ABCと交わる点をFとする。 (1) $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。 (2) $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。 (3) $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、三角形OABの重心をD、線分DCを2:1に内分する点をE、直線OEが平面ABCと交わる点をFとする。

(1) $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

(2) $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。

(3) $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) Dは三角形OABの重心なので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$

(2) Eは線分DCを2:1に内分する点なので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1\cdot\overrightarrow{OD} + 2\cdot\overrightarrow{OC}}{2+1} = \frac{\overrightarrow{OD} + 2\overrightarrow{OC}}{3}$

(1)の結果を代入すると、

$\overrightarrow{OE} = \frac{\frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3} + 2\overrightarrow{OC}}{3} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 6\overrightarrow{OC}}{9} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{6}{9}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$

(3) Fは直線OE上の点なので、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{OF} = k\overrightarrow{OE} = k(\frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}) = \frac{k}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{OC}$

と表せる。

また、Fは平面ABC上の点なので、$\overrightarrow{OF} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ と表したとき、$s+t+u = 1$ を満たす。

したがって、

$\frac{k}{9} + \frac{k}{9} + \frac{2k}{3} = 1$

$\frac{k}{9} + \frac{k}{9} + \frac{6k}{9} = 1$

$\frac{8k}{9} = 1$

$k = \frac{9}{8}$

よって、

$\overrightarrow{OF} = \frac{9}{8}(\frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}) = \frac{1}{8}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OE} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$

(3) $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{8}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$