直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $6$ である点 $P$ を通り、傾きが $2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $6$ である点 $P$ を通り、傾きが $2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $P$ の座標を求める。直線 $l$ の式に $x=6$ を代入すると、

$y = \frac{1}{5} \times 6 + \frac{4}{5} = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

よって、点 $P$ の座標は $(6, 2)$ である。

直線 $m$ は、点 $(6, 2)$ を通り、傾きが $2$ なので、その式は

$y - 2 = 2(x - 6)$

$y - 2 = 2x - 12$

$y = 2x - 10$

(2) 点 $A$ の座標を求める。点 $A$ は直線 $l$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を $l$ の式に代入する。

$0 = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$

$-\frac{1}{5}x = \frac{4}{5}$

$x = -4$

よって、点 $A$ の座標は $(-4, 0)$ である。

点 $B$ の座標を求める。点 $B$ は直線 $m$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を $m$ の式に代入する。

$0 = 2x - 10$

$2x = 10$

$x = 5$

よって、点 $B$ の座標は $(5, 0)$ である。

$\triangle ABP$ の面積を求める。底辺 $AB$ の長さは、

$AB = |5 - (-4)| = |5 + 4| = 9$

高さは、点 $P$ の $y$ 座標である $2$ 。

したがって、$\triangle ABP$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times 9 \times 2 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 10$

(2) 9