縦 $a$ cm、横 $b$ cm の長方形を下図のように並べたとき、以下の問いに答えます。 (1) 2番目と3番目の図形の周の長さの差を $a, b$ を用いて表します。 (2) 10番目の図形の周の長さを $a, b$ を用いて表します。

1. 問題の内容

縦 $a$ cm、横 $b$ cm の長方形を下図のように並べたとき、以下の問いに答えます。

(1) 2番目と3番目の図形の周の長さの差を $a, b$ を用いて表します。

(2) 10番目の図形の周の長さを $a, b$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

2番目の図形の周の長さは $2a + 2b + 2(a - b) + 2(b - a) = 2a + 2b + 2a - 2b + 2b - 2a = 2a + 2b$ です。

3番目の図形の周の長さは $2a + 2b + 2(a - b) + 2(b - a) + 2(a-b) + 2(b-a) = 2a+2b + 2(a-b) = 4a + 2b - 2b = 4a$ です。

したがって、2番目の図形と3番目の図形の周の長さの差は $4a - (2a+2b) = 2a - 2b$ です。

(2)

1番目の図形の周の長さは $2a + 2b$ です。

2番目の図形の周の長さは $2a + 2b + 2(a-b) + 2(b-a) = 2a + 2b$ です。

3番目の図形の周の長さは $2a + 2b + 2(a-b) + 2(b-a) + 2(a-b) + 2(b-a) = 2a+2b + 2(a-b) = 4a + 2b - 2b = 4a$ です。

4番目の図形の周の長さは $2a+2b+2(a-b)+2(b-a)+2(a-b)+2(b-a)+2(a-b)+2(b-a)=2a + 2b + 4(a-b) = 6a-2b$

奇数番目の図形の周の長さは $n$を自然数として、$(n+1)a + nb - nb - na = 2na - 2nb$の形となり、偶数番目の図形の周の長さは、$2a + 2b + (n-1)(2a-2b)$

図形の数が奇数の時、周の長さは $2na - 2nb +2a + 2b + 2(b-a)$で求められる。

図形の数が偶数の時、周の長さは$2a + 2b$である。

奇数番目の場合、長方形が$n$個増えたとき、周の長さは$2na - 2nb + 2a + 2b - 2a +2b$。

10番目の図形の周の長さは $2a + 2b + (10-1) (2a-2b)$ で求まる。

$2a + 2b + 9 (2a-2b) = 2a + 2b + 18a - 18b = 20a - 16b$

3. 最終的な答え

(1) $2a - 2b$

(2) $20a - 16b$