三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=2$, $CA=4$である。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とする。 (1) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$を求める。 (2) $\vec{AD}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。ここでDは直線AIと辺BCの交点であり、Iは三角形ABCの内心である。 (3) $\vec{AI}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。 (4) $\vec{AE}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。ここでEは三角形ABCの内接円と辺BCの接点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=2$, $CA=4$である。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とする。

(1) 内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$を求める。

(2) $\vec{AD}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。ここでDは直線AIと辺BCの交点であり、Iは三角形ABCの内心である。

(3) $\vec{AI}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

(4) $\vec{AE}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。ここでEは三角形ABCの内接円と辺BCの接点である。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{b} \cdot \vec{c}$を求める。

余弦定理より、$\cos{A} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9+16-4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos{A} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{7}{8} = 12 \cdot \frac{7}{8} = \frac{21}{2}$

(2) $\vec{AD}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

内心Iは角Aの二等分線上にあるので、ADは角Aの二等分線である。角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 3:4$

よって、$\vec{AD} = \frac{4\vec{AB} + 3\vec{AC}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

(3) $\vec{AI}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

内心Iは角の二等分線上にあるので、$\vec{AI} = k \vec{AD}$とおける。

$\vec{AI} = \frac{AB \cdot \vec{AC} + AC \cdot \vec{AB}}{AB + AC}$と表せることから、$\vec{AI} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

三角形ABCの面積をSとすると，$S = \frac{1}{2}|\vec{b}||\vec{c}|\sin{A}$

$S = \frac{1}{2} (AB+BC+CA) r = \frac{1}{2} (3+2+4) r = \frac{9}{2} r$, where $r$ is the radius of the inscribed circle.

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, so $\sin{A} = \sqrt{1 - \cos^2{A}} = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

$\frac{9}{2} r = \frac{3\sqrt{15}}{4}$, so $r = \frac{2}{9} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

$\vec{AI} = x \vec{b} + y \vec{c}$

$\vec{AI} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

(4) $\vec{AE}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

内接円の半径をrとすると、$BE = s - AC = \frac{AB+BC+CA}{2} - AC = \frac{3+2+4}{2} - 4 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$

$EC = s - AB = \frac{3+2+4}{2} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

$BE:EC = \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = 1:3$

$\vec{AE} = \frac{3\vec{AB} + \vec{AC}}{1+3} = \frac{3\vec{b} + \vec{c}}{4} = \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{21}{2}$

(2) $\vec{AD} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

(3) $\vec{AI} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

(4) $\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$