円 $K: x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ が与えられています。 (1) 円 $K$ の中心 $C$ の座標と半径を求めます。 (2) 点 $C$ を通り、直線 $OC$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求めます。また、直線 $l$ と円 $K$ の交点 $A, B$ の座標を求めます。ただし、点 $A$ の $x$ 座標 < 点 $B$ の $x$ 座標とします。 (3) (2) で求めた 2 点 $A, B$ に対して、$\triangle ABD$ が正三角形となるような点 $D$ を第 1 象限にとります。点 $D$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $K: x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ が与えられています。

(1) 円 $K$ の中心 $C$ の座標と半径を求めます。

(2) 点 $C$ を通り、直線 $OC$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求めます。また、直線 $l$ と円 $K$ の交点 $A, B$ の座標を求めます。ただし、点 $A$ の $x$ 座標 < 点 $B$ の $x$ 座標とします。

(3) (2) で求めた 2 点 $A, B$ に対して、$\triangle ABD$ が正三角形となるような点 $D$ を第 1 象限にとります。点 $D$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式を平方完成します。

$x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0$

$(x-4)^2 - 16 + (y-3)^2 - 9 = 0$

$(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$

よって、円 $K$ の中心 $C$ の座標は $(4, 3)$ であり、半径は $\sqrt{25} = 5$ です。

(2) 直線 $OC$ の傾きは $\frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4}$ です。

直線 $l$ は点 $C(4, 3)$ を通り、直線 $OC$ に垂直なので、傾きは $-\frac{4}{3}$ です。

よって、直線 $l$ の方程式は

$y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$3y - 9 = -4x + 16$

$4x + 3y = 25$

直線 $l$ と円 $K$ の交点 $A, B$ を求めます。

$4x + 3y = 25$ より $y = \frac{25 - 4x}{3}$

円 $K$ の方程式に代入すると、

$(x-4)^2 + (\frac{25 - 4x}{3} - 3)^2 = 25$

$(x-4)^2 + (\frac{16 - 4x}{3})^2 = 25$

$(x-4)^2 + \frac{16}{9}(4-x)^2 = 25$

$(x-4)^2 + \frac{16}{9}(x-4)^2 = 25$

$\frac{25}{9}(x-4)^2 = 25$

$(x-4)^2 = 9$

$x-4 = \pm 3$

$x = 4 \pm 3$

$x = 1, 7$

$x=1$ のとき $y = \frac{25 - 4(1)}{3} = \frac{21}{3} = 7$

$x=7$ のとき $y = \frac{25 - 4(7)}{3} = \frac{25 - 28}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

よって、$A(1, 7), B(7, -1)$ です。

(3) $A(1, 7), B(7, -1)$ とします。$D(x, y)$ が第一象限にあるとします。

$\triangle ABD$ が正三角形なので、$AB = BD = DA$ です。

$AB = \sqrt{(7-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$BD = \sqrt{(x-7)^2 + (y+1)^2} = 10$

$DA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-7)^2} = 10$

$(x-7)^2 + (y+1)^2 = 100$

$(x-1)^2 + (y-7)^2 = 100$

$x^2 - 14x + 49 + y^2 + 2y + 1 = 100$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 14y + 49 = 100$

上の式から下の式を引くと、

$-12x + 12y = 0$

$x = y$

$(x-7)^2 + (x+1)^2 = 100$

$x^2 - 14x + 49 + x^2 + 2x + 1 = 100$

$2x^2 - 12x - 50 = 0$

$x^2 - 6x - 25 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 100}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 3 \pm \sqrt{34}$

第一象限にあるので、 $x > 0, y > 0$

$x = 3 + \sqrt{34}$

$D(3 + \sqrt{34}, 3 + \sqrt{34})$

3. 最終的な答え

(1) C(4, 3), 半径5

(2) l: 4x + 3y = 25, A(1, 7), B(7, -1)

(3) D(3 + √34, 3 + √34)