座標平面上の3点 $(0,0)$, $(0, 3n)$, $(6n, 0)$ を頂点とする三角形の内部および周上に含まれる格子点の個数を求める問題です。ただし、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $(0,0)$, $(0, 3n)$, $(6n, 0)$ を頂点とする三角形の内部および周上に含まれる格子点の個数を求める問題です。ただし、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた三角形の辺の方程式を求めます。

辺 $(0,0)$ と $(6n, 0)$ を結ぶ直線は $y = 0$ です。

辺 $(0,0)$ と $(0, 3n)$ を結ぶ直線は $x = 0$ です。

辺 $(0, 3n)$ と $(6n, 0)$ を結ぶ直線は、傾きが $\frac{0 - 3n}{6n - 0} = -\frac{1}{2}$ であり、切片が $3n$ なので、$y = -\frac{1}{2}x + 3n$ となります。

次に、与えられた三角形の内部および周上に含まれる格子点の数を数えます。

$x=0$ から $x=6n$ までの各 $x$ について、$y$ の範囲を考えます。

$x$ が与えられたとき、$y$ は $0 \le y \le -\frac{1}{2}x + 3n$ の範囲の整数値を取ります。したがって、$x$ が与えられたときの格子点の数は $-\frac{1}{2}x + 3n + 1$ です。

求める格子点の総数は、

$$\sum_{x=0}^{6n} \left(-\frac{1}{2}x + 3n + 1\right)$$

となります。

この和を計算します。

$$\sum_{x=0}^{6n} \left(-\frac{1}{2}x + 3n + 1\right) = \sum_{x=0}^{6n} (3n+1) - \frac{1}{2} \sum_{x=0}^{6n} x$$

$$= (3n+1)(6n+1) - \frac{1}{2} \frac{6n(6n+1)}{2}$$

$$= (3n+1)(6n+1) - \frac{3n(6n+1)}{2}$$

$$= \frac{2(3n+1)(6n+1) - 3n(6n+1)}{2}$$

$$= \frac{(6n+2 - 3n)(6n+1)}{2}$$

$$= \frac{(3n+2)(6n+1)}{2}$$

$$= \frac{18n^2 + 3n + 12n + 2}{2}$$

$$= \frac{18n^2 + 15n + 2}{2}$$

上記の計算は間違い。

ピックの定理を使うアプローチを検討する。ピックの定理は、$A = I + \frac{B}{2} - 1$ であり、$A$ は多角形の面積、$I$ は内部の格子点の数、$B$ は境界上の格子点の数である。

三角形の面積は、底辺 $6n$、高さ $3n$ なので $A = \frac{1}{2} \cdot 6n \cdot 3n = 9n^2$ である。

境界上の格子点の数は、$(0,0)$ から $(6n,0)$ の間に $6n+1$ 個、$(0,0)$ から $(0,3n)$ の間に $3n+1$ 個ある。 $(0,3n)$ から $(6n, 0)$ 上の格子点数を考える。直線の方程式は $y = -\frac{1}{2} x + 3n$ である。

$x$ が偶数の時に $y$ は整数となる。従って、$x = 0, 2, 4, \dots, 6n$ の時に格子点があるので、$3n+1$ 個の格子点が存在する。

頂点の重複を考えると、境界上の格子点の数は $6n+1 + 3n+1 + 3n+1 - 3 = 12n + 3 - 3 = 12n$ である。

$9n^2 = I + \frac{12n}{2} - 1$

$9n^2 = I + 6n - 1$

$I = 9n^2 - 6n + 1$

ここで、$I$ は内部の格子点数である。境界上の格子点は $12n+3-3 = 12n$ 個。

したがって、求める格子点の総数は $9n^2 - 6n + 1 + 12n = 9n^2 + 6n + 1 = (3n+1)^2$。

3. 最終的な答え

$(3n+1)^2$