座標平面上に3点 A(-1, 2), B(2, -2), C(4, 0) が与えられている。 (1) 2点 A, B を通る直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 直線 $l$ と点 C との距離 $d$ を求める。 (3) 三角形 ABC の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(-1, 2), B(2, -2), C(4, 0) が与えられている。

(1) 2点 A, B を通る直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 直線 $l$ と点 C との距離 $d$ を求める。

(3) 三角形 ABC の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 A, B を通る直線 $l$ の方程式を求める。

直線の傾き $m$ は、

$m = \frac{-2 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-4}{3}$

点 A(-1, 2) を通るので、直線 $l$ の方程式は、

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 1)$

$3(y - 2) = -4(x + 1)$

$3y - 6 = -4x - 4$

$4x + 3y - 2 = 0$

(2) 直線 $l$ と点 C との距離 $d$ を求める。

点 C(4, 0) と直線 $4x + 3y - 2 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|4 \cdot 4 + 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|16 - 2|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{14}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{14}{5}$

(3) 三角形 ABC の面積を求める。

AB を底辺としたときの高さを $h$ とすると、$h$ は点Cと直線ABの距離$d$に等しい。

AB の長さは

$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

よって、三角形 ABC の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{14}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 14$

$S = 7$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式: $4x + 3y - 2 = 0$

(2) 直線 $l$ と点 C との距離 $d$: $\frac{14}{5}$

(3) 三角形 ABC の面積: $7$