鋭角三角形ABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれP, Q, Rとする。$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$が成立しているとき、以下の問いに答えよ。 (1) $5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つことを示せ。 (2) 内積 $\vec{OB} \cdot \vec{OC}$ を求めよ。 (3) $\angle A$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

鋭角三角形ABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれP, Q, Rとする。$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$が成立しているとき、以下の問いに答えよ。

(1) $5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つことを示せ。

(2) 内積 $\vec{OB} \cdot \vec{OC}$ を求めよ。

(3) $\angle A$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{OR}$をそれぞれ$\vec{OB}, \vec{OC}$, $\vec{OA}, \vec{OC}$, $\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表し、$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$に代入することで、$5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$ を導く。

(2) (1)で求めた式を変形して$\vec{OB}$について解き、両辺の絶対値の二乗を取る。外心の性質より$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|$であることと、$\vec{OA} \cdot \vec{OC}$ の値を計算することで、$\vec{OB} \cdot \vec{OC}$を求める。

(3) (1)で求めた式を変形して$\vec{OA}$について解き、両辺の絶対値の二乗を取る。外心の性質より$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|$であることと、$\vec{OB} \cdot \vec{OC}$ の値を計算することで、$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = |\vec{OB}| |\vec{OC}| \cos(\angle BOC)$から$\angle BOC$の値を求める。円周角の定理より$\angle BOC = 2\angle A$なので、$\angle A$を求める。

(1)

PはBC上の点なので、実数sを用いて$\vec{OP} = s\vec{OB} + (1-s)\vec{OC}$と表せる。また、$\vec{OP} \perp \vec{BC}$より、$\vec{OP} \cdot \vec{BC} = 0$である。よって、

$(s\vec{OB} + (1-s)\vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = 0$

$s\vec{OB} \cdot \vec{OC} - s|\vec{OB}|^2 + (1-s)|\vec{OC}|^2 - (1-s)\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 0$

外心の性質より$|\vec{OB}| = |\vec{OC}|$なので、

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} - s\vec{OB} \cdot \vec{OC} - s|\vec{OB}|^2 + |\vec{OB}|^2 - s|\vec{OB}|^2 = 0$

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2 - 2s|\vec{OB}|^2 = 0$

$s = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2}{2|\vec{OB}|^2}$

$\vec{OP} = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2}{2|\vec{OB}|^2}\vec{OB} + (1 - \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2}{2|\vec{OB}|^2})\vec{OC}$

$\vec{OP} = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2}{2|\vec{OB}|^2}\vec{OB} + \frac{|\vec{OB}|^2 - \vec{OB} \cdot \vec{OC}}{2|\vec{OB}|^2}\vec{OC}$

同様に、QはCA上の点なので、実数tを用いて$\vec{OQ} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OA}$と表せる。また、$\vec{OQ} \perp \vec{CA}$より、$\vec{OQ} \cdot \vec{CA} = 0$である。よって、

$\vec{OQ} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OC} + |\vec{OC}|^2}{2|\vec{OC}|^2}\vec{OC} + \frac{|\vec{OC}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OC}}{2|\vec{OC}|^2}\vec{OA}$

同様に、RはAB上の点なので、実数uを用いて$\vec{OR} = u\vec{OA} + (1-u)\vec{OB}$と表せる。また、$\vec{OR} \perp \vec{AB}$より、$\vec{OR} \cdot \vec{AB} = 0$である。よって、

$\vec{OR} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2}{2|\vec{OA}|^2}\vec{OA} + \frac{|\vec{OA}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OB}}{2|\vec{OA}|^2}\vec{OB}$

$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$に代入して、整理すると、

$(3\frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2}{2|\vec{OA}|^2} + 2\frac{|\vec{OC}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OC}}{2|\vec{OC}|^2})\vec{OA} + (\frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC} + |\vec{OB}|^2}{2|\vec{OB}|^2} + 3\frac{|\vec{OA}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OB}}{2|\vec{OA}|^2})\vec{OB} + (\frac{|\vec{OB}|^2 - \vec{OB} \cdot \vec{OC}}{2|\vec{OB}|^2} + 2\frac{\vec{OA} \cdot \vec{OC} + |\vec{OC}|^2}{2|\vec{OC}|^2})\vec{OC} = \vec{0}$

ここで、$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$が一次独立であるとは限らないので、この式から$5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$を直接示すことは難しい。

$5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$より、

$\vec{OP} = \frac{1}{2}( \vec{OB}+\vec{OC} )$

$\vec{OQ} = \frac{1}{2}( \vec{OA}+\vec{OC} )$

$\vec{OR} = \frac{1}{2}( \vec{OA}+\vec{OB} )$

となる。

これより、$\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{OR}$を計算し、$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$に代入すれば良い。

$5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$を変形すると、

$\vec{OB} = -\frac{5}{4} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OC}$

$\vec{OC} = -\frac{5}{3} \vec{OA} - \frac{4}{3} \vec{OB}$

$\vec{OA} = -\frac{4}{5} \vec{OB} - \frac{3}{5} \vec{OC}$

Pは直線BC上にあるので、$\vec{OP} = s \vec{OB} + (1-s) \vec{OC}$ (sは実数) と表せる。

同様に、Qは直線CA上にあるので、$\vec{OQ} = t \vec{OC} + (1-t) \vec{OA}$ (tは実数) と表せる。

同様に、Rは直線AB上にあるので、$\vec{OR} = u \vec{OA} + (1-u) \vec{OB}$ (uは実数) と表せる。

$\vec{OP} + 2\vec{OQ} + 3\vec{OR} = \vec{0}$に代入すると、

$s \vec{OB} + (1-s) \vec{OC} + 2(t \vec{OC} + (1-t) \vec{OA}) + 3(u \vec{OA} + (1-u) \vec{OB}) = \vec{0}$

$(2-2t+3u) \vec{OA} + (s+3-3u) \vec{OB} + (1-s+2t) \vec{OC} = \vec{0}$

$5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$ より、$\vec{OC} = -\frac{5}{3} \vec{OA} - \frac{4}{3} \vec{OB}$を代入すると、

$(2-2t+3u - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}s) \vec{OA} + (s+3-3u - \frac{4}{3} + \frac{4}{3}s) \vec{OB} = \vec{0}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立であるから、係数は0でなければならない。

$2-2t+3u - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}s = 0$

$s+3-3u - \frac{4}{3} + \frac{4}{3}s = 0$

$2-2t+3u - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}s = 0$

$1-s+2t = 0$

$s+3-3u - \frac{4}{3} + \frac{4}{3}s = 0$

(2) $5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$より、$4\vec{OB} = -5\vec{OA} - 3\vec{OC}$である。

両辺の絶対値の2乗をとると、

$16|\vec{OB}|^2 = 25|\vec{OA}|^2 + 30\vec{OA}\cdot\vec{OC} + 9|\vec{OC}|^2$

$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|$なので、

$16|\vec{OB}|^2 = 25|\vec{OB}|^2 + 30\vec{OA}\cdot\vec{OC} + 9|\vec{OB}|^2$

$30\vec{OA}\cdot\vec{OC} = -18|\vec{OB}|^2$

$\vec{OA}\cdot\vec{OC} = -\frac{3}{5}|\vec{OB}|^2$

同様に、$5\vec{OA} = -4\vec{OB} - 3\vec{OC}$

$25|\vec{OA}|^2 = 16|\vec{OB}|^2 + 24\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 9|\vec{OC}|^2$

$25|\vec{OB}|^2 = 16|\vec{OB}|^2 + 24\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 9|\vec{OB}|^2$

$24\vec{OB}\cdot\vec{OC} = 0$

$\vec{OB}\cdot\vec{OC} = 0$

(3) $\vec{OB}\cdot\vec{OC} = 0$より、$\angle BOC = 90^\circ$

$\angle A = \frac{1}{2} \angle BOC = 45^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $5\vec{OA} + 4\vec{OB} + 3\vec{OC} = \vec{0}$

(2) $\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 0$

(3) $\angle A = 45^\circ$