$AB=5, BC=6, CA=4$ の $\triangle ABC$ があり、辺 $AC$ の中点を $M$ とする。辺 $BC$ の $C$ を超える延長線上に点 $D$ をとり、直線 $DM$ と辺 $AB$ の交点を $E$ とすると、$\triangle ABC \sim \triangle AME$ となった。このとき、以下の問いに答える。 (1) 線分 $AE$ の長さを求めよ。 (2) 線分 $CD$ の長さを求めよ。 (3) 直線 $BM$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{DF}{FA}$ を求めよ。

了解いたしました。画像にある問題のうち、問題5を解きます。

1. 問題の内容

$AB=5, BC=6, CA=4$ の $\triangle ABC$ があり、辺 $AC$ の中点を $M$ とする。辺 $BC$ の $C$ を超える延長線上に点 $D$ をとり、直線 $DM$ と辺 $AB$ の交点を $E$ とすると、$\triangle ABC \sim \triangle AME$ となった。このとき、以下の問いに答える。

(1) 線分 $AE$ の長さを求めよ。

(2) 線分 $CD$ の長さを求めよ。

(3) 直線 $BM$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{DF}{FA}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC \sim \triangle AME$ より、$\frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AB}$ が成り立つ。$M$ は $AC$ の中点なので、$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ である。したがって、$\frac{AE}{4} = \frac{2}{5}$ となるので、$AE = \frac{8}{5}$ である。

(2) $\triangle ABC \sim \triangle AME$ より、$\frac{ME}{BC} = \frac{AM}{AB}$ であるから、$\frac{ME}{6} = \frac{2}{5}$。よって、$ME = \frac{12}{5}$ である。

また、$\triangle DME \sim \triangle BMC$ であるから、$\frac{CD}{AE} = \frac{CM}{AM}$ が成り立つ。$\frac{CD}{\frac{8}{5}} = \frac{2}{5}$ より、$CD = \frac{12}{5}$。

(3) メネラウスの定理を $\triangle ABD$ と直線 $BMF$ に適用すると、

$\frac{AM}{MD} \cdot \frac{DC}{CB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$ が成り立つ。

$AM = MC = 2$ であり、$MD = MC+CD = 2 + \frac{12}{5} = \frac{22}{5}$ なので、$\frac{AM}{MD} = \frac{2}{\frac{22}{5}} = \frac{5}{11}$ である。

$\frac{DC}{CB} = \frac{\frac{12}{5}}{6} = \frac{2}{5}$ である。

したがって、$\frac{5}{11} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$ となり、$\frac{BF}{FA} = \frac{11}{2}$。

$\frac{AF}{FB} = \frac{2}{11}$ が得られる。

したがって、メネラウスの定理より$\frac{BF}{FE} = \frac{5}{13}$である。

3. 最終的な答え

(1) $AE = \frac{8}{5}$

(2) $CD = \frac{12}{5}$

(3) $\frac{DF}{FA} = \frac{2}{3}$