平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを1:2に内分する点をE、辺CDを3:1に内分する点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 線分CMとFEの交点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。 (2) 直線APと対角線BDの交点をQとするとき、$\overrightarrow{AQ}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを1:2に内分する点をE、辺CDを3:1に内分する点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 線分CMとFEの交点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

(2) 直線APと対角線BDの交点をQとするとき、$\overrightarrow{AQ}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分CM上にあるので、$s$を実数として、

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AC} + s\overrightarrow{AM}$ と表せる。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

より、

$\overrightarrow{AP} = (1-s)(\vec{b}+\vec{d}) + s(\frac{1}{2}\vec{b}) = (1-s+\frac{1}{2}s)\vec{b} + (1-s)\vec{d} = (1-\frac{1}{2}s)\vec{b} + (1-s)\vec{d}$ ...(1)

また、点Pは線分FE上にあるので、$t$を実数として、

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AF} + t\overrightarrow{AE}$ と表せる。

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC} = \vec{d} + \frac{1}{4}\vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$

より、

$\overrightarrow{AP} = (1-t)(\vec{d} + \frac{1}{4}\vec{b}) + t(\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}) = (\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t+t)\vec{b} + (1-t+\frac{1}{3}t)\vec{d} = (\frac{1}{4}+\frac{3}{4}t)\vec{b} + (1-\frac{2}{3}t)\vec{d}$ ...(2)

(1), (2) より、

$1-\frac{1}{2}s = \frac{1}{4}+\frac{3}{4}t$

$1-s = 1-\frac{2}{3}t$

これらを解くと、$s = \frac{2}{3}, t = 1$

したがって、

$\overrightarrow{AP} = (1-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3})\vec{b} + (1-\frac{2}{3})\vec{d} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$

(2)

点Qは直線AP上にあるので、$k$を実数として、

$\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP} = k(\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}) = \frac{2}{3}k\vec{b} + \frac{1}{3}k\vec{d}$ ...(3)

また、点Qは直線BD上にあるので、$l$を実数として、

$\overrightarrow{AQ} = (1-l)\overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{AD} = (1-l)\vec{b} + l\vec{d}$ ...(4)

(3), (4) より、

$\frac{2}{3}k = 1-l$

$\frac{1}{3}k = l$

これらを解くと、$k = \frac{3}{3}, l = \frac{1}{3}$

したがって、

$\overrightarrow{AQ} = (1-\frac{1}{3})\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$

(2) $\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$