長方形ABCDがあり、$AB=6, AD=12$です。点Pは辺ABの中点Mから出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かいます。点Qは点Pと同時にMから出発し、毎秒3の速さでBを経て、辺BCの中点Nに向かいます。点QがNに着いた後は動きません。辺CDの中点をOとするとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答えます。ただし、$0 < x \le 1$とします。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB=6, AD=12$です。点Pは辺ABの中点Mから出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かいます。点Qは点Pと同時にMから出発し、毎秒3の速さでBを経て、辺BCの中点Nに向かいます。点QがNに着いた後は動きません。辺CDの中点をOとするとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答えます。ただし、$0 < x \le 1$とします。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの位置を$x$を用いて表します。$0 < x \le 1$なので、点Pは線分MA上に、点Qは線分MB上にあります。

* 点Pの位置：

* $MP = 3x$より、$AP = AM - MP = 3 - 3x = 3(1-x)$

* 点Qの位置：

* $MQ = 3x$より、$BQ = BM - MQ = 3 - 3x = 3(1-x)$

次に、点Oの座標を原点とし、A(0,6), B(12,6), C(12,0), D(0,0)とすると、M(6,6), O(6,0)となります。

この時、Pの座標は$(6(1-x), 6)$、Qの座標は$(6+6x, 6)$と表せます。

$\triangle OPQ$の面積$y$は、O, P, Qの座標から計算します。

$O(6,0), P(6(1-x), 6), Q(6+6x, 6)$

$\triangle OPQ = \frac{1}{2}|6(6-6) + 6(6 - 6(1-x)) + (6+6x)(6(1-x)-0)|$

$= \frac{1}{2}|6(6x) + (6+6x)(6-6x)|$

$= \frac{1}{2}|36x + 36 - 36x + 36x - 36x^2|$

$= \frac{1}{2}|36 + 36x - 36x^2|$

$= 18|1 + x - x^2|$

$0 < x \le 1$において、$1 + x - x^2$は常に正なので、

$y = 18(1+x-x^2)$

グラフは上に凸な放物線の一部になります。

3. 最終的な答え

$y = 18(1+x-x^2) \quad (0 < x \le 1)$

グラフは、$0 < x \le 1$の範囲で、$y = 18(1+x-x^2)$の放物線のグラフ。

$x=1$の時、$y=18(1+1-1)=18$