平面上に、ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ があり、以下の条件を満たします。 * $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ * $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ また、 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b}) = 0$ を満たすベクトル $\vec{p}$ があります。このとき、$|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めてください。

1. 問題の内容

平面上に、ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ があり、以下の条件を満たします。

* $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$

* $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$

また、 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b}) = 0$ を満たすベクトル $\vec{p}$ があります。このとき、$|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ の両辺を2乗します。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2$

$\vec{a}\cdot\vec{a} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{b} = 12$

$|\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 12$

$2^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2^2 = 12$

$4 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 4 = 12$

$-2\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = -2$

次に、 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b}) = 0$ を展開します。

$\vec{p}\cdot\vec{p} - \vec{p}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{p} + \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$|\vec{p}|^2 - \vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) + \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$|\vec{p}|^2 - \vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) - 2 = 0$

$\vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{p}|^2 - 2$

この式を $|\vec{p}|$ について解くために、幾何的に考えます。 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b}) = 0$ は、ベクトル $\vec{p}-\vec{a}$ と $\vec{p}-\vec{b}$ が直交することを意味します。これは、点Pの終点が、点A, Bを直径の両端とする円周上にあることを意味します。

この円の中心をMとすると、$\vec{OM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ となります。円の半径rは、

$r = \frac{|\vec{a} - \vec{b}|}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$|\vec{p}| = |\vec{OM} + \vec{MP}|$ となり、$|\vec{OM}|$ が一定で、$|\vec{MP}| = r = \sqrt{3}$ であることから、$|\vec{p}|$ の最大値と最小値は、点O, M, Pが一直線上に並ぶときに起こります。

$|\vec{OM}|^2 = (\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2})\cdot(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}) = \frac{1}{4}(|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) = \frac{1}{4}(4 - 4 + 4) = 1$

したがって、$|\vec{OM}| = 1$

$|\vec{p}|$の最大値は $|\vec{OM}| + r = 1 + \sqrt{3}$

$|\vec{p}|$の最小値は $|\vec{OM}| - r = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$ （$|\vec{OM}| < r$ の場合も考慮する）

3. 最終的な答え

最大値：$1 + \sqrt{3}$

最小値：$\sqrt{3} - 1$