長方形ABCDにおいて、$AB = 6$、$AD = 12$である。点Pは、辺ABの中点Mを出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かう。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かう。点QはNに着いた後は動かない。辺CDの中点をOとしたとき、出発してからx秒後の三角形OPQの面積yをxの式で表し、そのグラフを求める。ただし、$1 < x \leq 3$とする。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB = 6$、$AD = 12$である。点Pは、辺ABの中点Mを出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かう。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かう。点QはNに着いた後は動かない。辺CDの中点をOとしたとき、出発してからx秒後の三角形OPQの面積yをxの式で表し、そのグラフを求める。ただし、$1 < x \leq 3$とする。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの動きを考える。

点Pについて：

- MからAまでかかる時間：$3 / 3 = 1$秒

- AからDまでかかる時間：$12 / 3 = 4$秒

点Qについて：

- MからBまでかかる時間：$3 / 3 = 1$秒

- BからNまでかかる時間：$6 / 3 = 2$秒

問題文より、$1 < x \leq 3$なので、点PはAからDの間にあり、点QはNに到着している。

- 点PのAからの距離：$3(x-1)$

- 点PのDからの距離：$12 - 3(x-1) = 15 - 3x$

- 点Oの座標を(9,12)としたとき、点Pの座標は$(3(x-1), 12)$である。

- 点QはNにいるので、点Qの座標は(6,6)である。

三角形OPQの面積yは、O, P, Qの座標を使って計算できる。

$y = \frac{1}{2} | (9(12-6) + 3(x-1)(6-12) + 6(12-12)) |$

$y = \frac{1}{2} | 54 - 18(x-1) |$

$y = \frac{1}{2} | 54 - 18x + 18 |$

$y = \frac{1}{2} | 72 - 18x |$

$y = | 36 - 9x |$

$1 < x \leq 3$の範囲において、$36 - 9x$は正の値を取るため、$y = 36 - 9x$

したがって、$y = 36 - 9x$（$1 < x \leq 3$）

グラフについて：

$y = 36 - 9x$は直線である。

$x = 1$のとき、$y = 36 - 9 = 27$

$x = 3$のとき、$y = 36 - 27 = 9$

グラフは、点(1, 27)を除き、点(3, 9)を含む、$1 < x \leq 3$における直線である。

3. 最終的な答え

$y = 36 - 9x$（$1 < x \leq 3$）

グラフは点(1,27)を含まない直線であり、点(3, 9)を含む。