一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をD、辺OCの中点をE、三角形ABCの重心をGとする。このとき、内積$\vec{OA}\cdot\vec{OB}$と$\vec{DE}\cdot\vec{OG}$を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をD、辺OCの中点をE、三角形ABCの重心をGとする。このとき、内積$\vec{OA}\cdot\vec{OB}$と$\vec{DE}\cdot\vec{OG}$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA}\cdot\vec{OB}$を求める。正四面体OABCの一辺の長さは1なので、$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = 1$である。また、$\angle AOB = 60^\circ$なので、

$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\angle AOB} = 1\cdot 1\cdot \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$

次に、$\vec{DE}\cdot\vec{OG}$を求める。

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD}$であり、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$である。

$\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{OC}$, $\vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$なので、

$\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{OC} - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \frac{1}{2}\vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{DE} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC}$

$\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$

$\vec{DE}\cdot\vec{OG} = (-\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC})\cdot (\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC})$

$= -\frac{1}{6}|\vec{OA}|^2 - \frac{1}{6}\vec{OA}\cdot\vec{OB} - \frac{1}{6}\vec{OA}\cdot\vec{OC} - \frac{1}{6}\vec{OB}\cdot\vec{OA} - \frac{1}{6}|\vec{OB}|^2 - \frac{1}{6}\vec{OB}\cdot\vec{OC} + \frac{1}{6}\vec{OC}\cdot\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OC}\cdot\vec{OB} + \frac{1}{6}|\vec{OC}|^2$

$= -\frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$

$= -\frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$

$= -\frac{1}{6} - \frac{3}{12} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = -\frac{2}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \frac{1}{2}$

$\vec{DE}\cdot\vec{OG} = -\frac{5}{12}$