一辺が2cmの立方体において、辺BC, CD, DH, HE, EF, FBの中点をそれぞれI, J, K, L, M, Nとする。これらの点と点Aを結んでできる六角錐A-IJKLMNの体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が2cmの立方体において、辺BC, CD, DH, HE, EF, FBの中点をそれぞれI, J, K, L, M, Nとする。これらの点と点Aを結んでできる六角錐A-IJKLMNの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

立方体の体積から、六角錐A-IJKLMNに含まれない部分の体積を引くことで、六角錐の体積を求める。

六角錐A-IJKLMNに含まれない部分は、点B, C, D, E, F, Hを頂点とする三角錐である。

各三角錐は合同であり、体積は等しい。

三角錐A-B-I-N, A-C-J-I, A-D-J-K, A-E-L-M, A-F-M-N, A-H-K-L の体積をそれぞれ計算する。

各三角錐の底面は直角三角形であり、高さは立方体の辺の長さと等しい。

例えば、三角錐A-B-I-N において、底面は直角三角形B-I-Nであり、高さはAB = 2cmである。

直角三角形B-I-Nの面積は、BI = BN = 1cmであるから、

$(1/2) * BI * BN = (1/2) * 1 * 1 = 1/2 cm^2$

三角錐A-B-I-Nの体積は、

$(1/3) * (底面積) * (高さ) = (1/3) * (1/2) * 2 = 1/3 cm^3$

三角錐は6つ存在するので、これらの体積の合計は、

$6 * (1/3) = 2 cm^3$

立方体の体積は、 $2 * 2 * 2 = 8 cm^3$

六角錐A-IJKLMNの体積は、立方体の体積から6つの三角錐の体積を引いたものなので、

$8 - 2 = 6 cm^3$

3. 最終的な答え

6 $cm^3$