2つの楕円 $ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 $ と $ (x/b)^2 + (y/a)^2 = 1 $ の共通部分の周の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

2つの楕円 $(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1$ と $(x/b)^2 + (y/a)^2 = 1$ の共通部分の周の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの楕円の交点を求めます。2つの式を連立して解きます。

$(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1$ ...(1)

$(x/b)^2 + (y/a)^2 = 1$ ...(2)

(1) - (2) より、

$(x/a)^2 - (x/b)^2 + (y/b)^2 - (y/a)^2 = 0$

$x^2(1/a^2 - 1/b^2) + y^2(1/b^2 - 1/a^2) = 0$

$(x^2 - y^2)(1/a^2 - 1/b^2) = 0$

$a \ne b$ のとき、$x^2 - y^2 = 0$ より $x = \pm y$ となります。

$x = y$ の場合、(1) に代入して、

$(x/a)^2 + (x/b)^2 = 1$

$x^2(1/a^2 + 1/b^2) = 1$

$x^2 = 1/(1/a^2 + 1/b^2) = a^2b^2/(a^2+b^2)$

$x = \pm ab/\sqrt{a^2+b^2}$

よって、交点は $(ab/\sqrt{a^2+b^2}, ab/\sqrt{a^2+b^2})$ と $(-ab/\sqrt{a^2+b^2}, -ab/\sqrt{a^2+b^2})$ です。

$x = -y$ の場合、(1) に代入して、

$(x/a)^2 + (-x/b)^2 = 1$

$x^2(1/a^2 + 1/b^2) = 1$

$x = \pm ab/\sqrt{a^2+b^2}$

よって、交点は $(ab/\sqrt{a^2+b^2}, -ab/\sqrt{a^2+b^2})$ と $(-ab/\sqrt{a^2+b^2}, ab/\sqrt{a^2+b^2})$ です。

これらの交点を結ぶ線分によって囲まれた領域は、正方形となります。

正方形の一辺の長さは $2ab/\sqrt{a^2+b^2}$ です。

求める周の長さは、4倍して $8ab/\sqrt{a^2+b^2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{8ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$