二つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0$ について、以下の問題を解く。 (1) 二つの円の二つの交点と点 $(-2, 1)$ を通る円の方程式を求める。 (2) 二つの円の二つの交点を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

二つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0$ について、以下の問題を解く。

(1) 二つの円の二つの交点と点 $(-2, 1)$ を通る円の方程式を求める。

(2) 二つの円の二つの交点を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて、

$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0$

と表せる。この円が点 $(-2, 1)$ を通るので、

$(-2)^2 + 1^2 - 4 + k((-2)^2 + 1^2 - 4(-2) - 2(1) - 8) = 0$

$4 + 1 - 4 + k(4 + 1 + 8 - 2 - 8) = 0$

$1 + 3k = 0$

$k = -\frac{1}{3}$

これを最初の式に代入して、

$x^2 + y^2 - 4 - \frac{1}{3}(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0$

両辺に3をかけて、

$3(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 12 - x^2 - y^2 + 4x + 2y + 8 = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$

$x^2 + y^2 + 2x + y - 2 = 0$

(2) 二つの円の交点を通る直線の方程式は、$x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0$ の差をとることで得られる。

$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8) = 0$

$x^2 + y^2 - 4 - x^2 - y^2 + 4x + 2y + 8 = 0$

$4x + 2y + 4 = 0$

$2x + y + 2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 2x + y - 2 = 0$

(2) $2x + y + 2 = 0$