与えられた直線の式 $y = -\sqrt{3}x$ を極座標の方程式で表す。

1. 問題の内容

与えられた直線の式 $y = -\sqrt{3}x$ を極座標の方程式で表す。

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は以下の通りです。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

この関係式を与えられた直線の方程式に代入します。

$r\sin\theta = -\sqrt{3} r\cos\theta$

両辺を $r$ で割ると、$r \neq 0$ のとき、

$\sin\theta = -\sqrt{3}\cos\theta$

両辺を $\cos\theta$ で割ると、$\cos\theta \neq 0$ のとき、

$\tan\theta = -\sqrt{3}$

この方程式を満たす $\theta$ を求めます。

$\tan\theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{2}{3}\pi + n\pi$ (nは整数) です。

$\theta = \frac{2}{3}\pi$ は $r>0$ に対応し、$\theta = \frac{5}{3}\pi$ は $r<0$ に対応します。

$r = 0$ のとき、原点を通るので考慮する必要はありません。

$\theta = \frac{2}{3}\pi$ とすると、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ は解となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$