正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

2. 解き方の手順

まず、正八角形から3つの頂点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式を使って計算できます。

$n$個のものから$r$個を選ぶ組み合わせの数は、

$$$$

{}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

$$$$

で表されます。今回の場合は、$n=8$で$r=3$なので、

$$$$

{}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

$$$$

したがって、正八角形から3つの頂点を選ぶ組み合わせは56通りです。

次に、正八角形と辺を共有する三角形の数を計算します。

正八角形と1つの辺を共有する三角形は、その辺の両端の点以外の点を頂点として持つ必要があります。正八角形には8つの辺があり、それぞれの辺に対して、残りの6つの頂点のうち、隣り合う頂点を除いた4つの頂点を選ぶことができます。したがって、正八角形と1つの辺を共有する三角形は$8 \times 4 = 32$個あります。

ただし、正八角形と2つの辺を共有する三角形は、正八角形の隣り合う3つの頂点を選ぶことに相当します。そのような選び方は8通りあります。

したがって、正八角形と辺を共有する三角形の数は$8 \times 1 + 8 \times 4 = 8 + 32 = 40$ではありません。

2辺を共有する三角形は8個です。1辺だけを共有する三角形は、$8 \times (4-0) = 8\times 4 = 32$ではなく、$8 \times (6-2) = 8 \times 4 = 32$通りでもあります。

しかし、1辺を共有する三角形の数は、共有する辺を選んだあと、残りの頂点のうち隣り合う頂点を避けて選ぶ必要があります。辺の選び方は8通りです。残りの頂点は6個で、選んだ辺の両端に隣接する頂点を除くと4個です。よって、1辺のみを共有する三角形の数は、$8 \times 4 = 32$個です。

正八角形と辺を共有しない三角形の数は、三角形の総数から辺を共有する三角形の数を引くことで求められます。辺を共有する三角形の数は1辺を共有する場合と2辺を共有する場合があるので、それらを足し合わせます。

2辺を共有する三角形の数は8通り。1辺を共有する三角形の数は32通り。

したがって、辺を共有する三角形の数は$8+32 = 40$です。

よって、辺を共有しない三角形の数は$56-8-24=24$です。

正八角形と辺を共有する三角形は、$8 \times 4$となるので、32個ある。2つの辺を共有する三角形は8個あるので、正八角形と辺を共有する三角形は40個ある。

正八角形の3つの頂点の選び方は${}_8 C_3 = 56$通り。

正八角形と辺を共有しない三角形の数は、全体の数から正八角形と辺を共有する三角形の数を引いた数になる。

１辺を共有する三角形は8 * 4 = 32

2辺を共有する三角形は8

全部の三角形56

56-40=16

1. 全ての三角形の数 = 56

2. 1辺を共有する三角形の数 = 32

3. 2辺を共有する三角形の数 = 8

4. 共有しない三角形の数 = 56 - 32 - 8 = 16

3. 最終的な答え

16個