楕円 $x^2 + 9y^2 = 9$ と直線 $y = kx + 2$ が接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $x^2 + 9y^2 = 9$ と直線 $y = kx + 2$ が接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、楕円の式に直線の式を代入して、$x$ の2次方程式を作ります。

$x^2 + 9(kx+2)^2 = 9$

$x^2 + 9(k^2x^2 + 4kx + 4) = 9$

$x^2 + 9k^2x^2 + 36kx + 36 = 9$

$(1+9k^2)x^2 + 36kx + 27 = 0$

次に、この2次方程式が重解を持つ条件を考えます。判別式 $D = 0$ となる $k$ を求めます。

$D = (36k)^2 - 4(1+9k^2)(27) = 0$

$1296k^2 - 4(27 + 243k^2) = 0$

$1296k^2 - 108 - 972k^2 = 0$

$324k^2 = 108$

$k^2 = \frac{108}{324} = \frac{1}{3}$

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$(1+9(\frac{1}{3}))x^2 + 36(\frac{\sqrt{3}}{3})x + 27 = 0$

$4x^2 + 12\sqrt{3}x + 27 = 0$

$(2x + 3\sqrt{3})^2 = 0$

$x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

よって、接点の座標は $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$(1+9(\frac{1}{3}))x^2 + 36(-\frac{\sqrt{3}}{3})x + 27 = 0$

$4x^2 - 12\sqrt{3}x + 27 = 0$

$(2x - 3\sqrt{3})^2 = 0$

$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{3\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

よって、接点の座標は $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

3. 最終的な答え

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$