原点を中心とする半径1の円 $C_1$ 上の点Pの座標が $(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$ であり、原点を中心とする半径2の円 $C_2$ 上の点Qの座標が $(2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}), 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$ である。 (1) 3点O, P, Q がこの順に一直線上にあるような最小の $\theta$ の値を求める問題。 (2) 線分 PQ の長さの2乗 $PQ^2$ を求める問題。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円 $C_1$ 上の点Pの座標が $(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$ であり、原点を中心とする半径2の円 $C_2$ 上の点Qの座標が $(2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}), 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$ である。

(1) 3点O, P, Q がこの順に一直線上にあるような最小の $\theta$ の値を求める問題。

(2) 線分 PQ の長さの2乗 $PQ^2$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 3点O, P, Q が一直線上にあるためには、OPとOQの傾きが等しい必要がある。

Pの傾きは $\frac{\sin(a\theta)}{\cos(a\theta)} = \tan(a\theta)$

Qの傾きは $\frac{2\sin(\pi - \frac{\theta}{2})}{2\cos(\pi - \frac{\theta}{2})} = \tan(\pi - \frac{\theta}{2}) = -\tan(\frac{\theta}{2})$

したがって、$\tan(a\theta) = -\tan(\frac{\theta}{2})$ となる必要がある。

$\tan(a\theta) = \tan(-\frac{\theta}{2})$ より、

$a\theta = -\frac{\theta}{2} + n\pi$ (nは整数)

$(a + \frac{1}{2})\theta = n\pi$

$\theta = \frac{n\pi}{a + \frac{1}{2}} = \frac{2n\pi}{2a+1}$

$\theta \geq 0$ であるから、最小の $\theta$ は $n=1$ のときで、$\theta = \frac{2\pi}{2a+1}$

よって、ア=2, イ=2, ウ=1 となる。

(2) $PQ^2 = (\cos(a\theta) - 2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}))^2 + (\sin(a\theta) - 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))^2$

$= \cos^2(a\theta) - 4\cos(a\theta)\cos(\pi - \frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\pi - \frac{\theta}{2}) + \sin^2(a\theta) - 4\sin(a\theta)\sin(\pi - \frac{\theta}{2}) + 4\sin^2(\pi - \frac{\theta}{2})$

$= (\cos^2(a\theta) + \sin^2(a\theta)) + 4(\cos^2(\pi - \frac{\theta}{2}) + \sin^2(\pi - \frac{\theta}{2})) - 4(\cos(a\theta)\cos(\pi - \frac{\theta}{2}) + \sin(a\theta)\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$

$= 1 + 4 - 4\cos(a\theta - (\pi - \frac{\theta}{2})) = 5 - 4\cos((a + \frac{1}{2})\theta - \pi)$

$= 5 + 4\cos((a + \frac{1}{2})\theta)$

$(a + \frac{1}{2})\theta = (a + \frac{1}{2})\frac{2n\pi}{2a+1} = n\pi$ を代入して、$PQ^2 = 5 + 4\cos(n\pi)$

一般に、$PQ^2 = 5 - 4\cos(\pi-(a+\frac{1}{2})\theta)$

$PQ^2 = 5 + 4\cos((a+\frac{1}{2})\theta)$

$\pi-(a+\frac{1}{2})\theta$

エ=4, オ=0, カ=1/2, キ=1, ク=5

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{2}{2a+1}\pi$

(2) $PQ^2 = 4\cos((a + \frac{1}{2})\theta) + 5$