平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、辺CDを2:kに外分する点をFとする。3点A, E, Fが一直線上にあるとき、kの値を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、辺CDを2:kに外分する点をFとする。3点A, E, Fが一直線上にあるとき、kの値を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とおく。

まず、点Eの位置ベクトルを求める。

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$

$\vec{BE} = \frac{3}{5}\vec{BC} = \frac{3}{5}\vec{AD}$

よって、

$\vec{AE} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

次に、点Fの位置ベクトルを求める。

$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF}$

$\vec{DF} = \frac{2}{2-k}\vec{DC} = \frac{2}{2-k}(-\vec{b})$

よって、

$\vec{AF} = \vec{d} - \frac{2}{2-k}\vec{b}$

3点A, E, Fが一直線上にあるので、$\vec{AF} = t\vec{AE}$となる実数tが存在する。

$\vec{d} - \frac{2}{2-k}\vec{b} = t(\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d})$

$\vec{d} - \frac{2}{2-k}\vec{b} = t\vec{b} + \frac{3}{5}t\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1 = \frac{3}{5}t$

$-\frac{2}{2-k} = t$

1つ目の式より、$t = \frac{5}{3}$

2つ目の式に代入して、

$-\frac{2}{2-k} = \frac{5}{3}$

$-6 = 10 - 5k$

$5k = 16$

$k = \frac{16}{5}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{16}{5}$