直線 $y = 2x + 5$ が次の円によって切り取られる線分の長さを求め、さらにその線分の中点の座標を求めよ。 (1) $x^2 + y^2 = 16$ (2) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 5$ が次の円によって切り取られる線分の長さを求め、さらにその線分の中点の座標を求めよ。

(1) $x^2 + y^2 = 16$

(2) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 16$ の中心は原点$(0, 0)$で、半径は4である。直線 $y = 2x + 5$ と円の中心との距離 $d$ を求める。点と直線の距離の公式を用いると、

$d = \frac{|2(0) - (0) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

円の半径 $r$ は4なので、$r > d$ であり、直線は円と2点で交わる。

切り取られる線分の長さを $l$ とすると、三平方の定理より、

$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$

$(\frac{l}{2})^2 = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$

$\frac{l}{2} = \sqrt{11}$

$l = 2\sqrt{11}$

次に、線分の中点の座標を求める。中点は、円の中心から直線に下ろした垂線の足である。

直線 $y = 2x + 5$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。原点を通る垂直な直線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x$ である。

この直線と与えられた直線の交点を求める。

$2x + 5 = -\frac{1}{2}x$

$4x + 10 = -x$

$5x = -10$

$x = -2$

$y = -\frac{1}{2}(-2) = 1$

よって、線分の中点の座標は $(-2, 1)$ である。

(2)

円 $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$ の中心は $(3, 1)$ で、半径は5である。直線 $y = 2x + 5$ と円の中心との距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|2(3) - (1) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 1 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

円の半径 $r$ は5なので、$r > d$ であり、直線は円と2点で交わる。

切り取られる線分の長さを $l$ とすると、三平方の定理より、

$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$

$(\frac{l}{2})^2 = 5^2 - (2\sqrt{5})^2 = 25 - 20 = 5$

$\frac{l}{2} = \sqrt{5}$

$l = 2\sqrt{5}$

次に、線分の中点の座標を求める。中点は、円の中心から直線に下ろした垂線の足である。

直線 $y = 2x + 5$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。点 $(3, 1)$ を通る垂直な直線の方程式は $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ である。

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

この直線と与えられた直線の交点を求める。

$2x + 5 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$4x + 10 = -x + 5$

$5x = -5$

$x = -1$

$y = 2(-1) + 5 = 3$

よって、線分の中点の座標は $(-1, 3)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 線分の長さ: $2\sqrt{11}$, 中点の座標: $(-2, 1)$

(2) 線分の長さ: $2\sqrt{5}$, 中点の座標: $(-1, 3)$