問題は、(1)展開図で示された円錐の体積と表面積を求め、(2)半径4cmの半球の体積と表面積を求めるというものです。

1. 問題の内容

問題は、(1)展開図で示された円錐の体積と表面積を求め、(2)半径4cmの半球の体積と表面積を求めるというものです。

2. 解き方の手順

(1) 円錐

- 底面の半径は2cm、母線は6cmです。

- 高さを $h$ とすると、三平方の定理より $h^2 + 2^2 = 6^2$。

- $h^2 = 36 - 4 = 32$。よって $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm。

- 体積は、(1/3)×(底面積)×(高さ) = (1/3)×π×2^2×4√2 = $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ cm$^3$。

- 側面積は、π×(底面の半径)×(母線) = π×2×6 = 12π cm$^2$。

- 底面積は、π×(底面の半径)^2 = π×2^2 = 4π cm$^2$。

- 表面積は、側面積 + 底面積 = 12π + 4π = 16π cm$^2$。

(2) 半球

- 半径は4cmです。

- 球の体積は、(4/3)×π×(半径)^3。半球なので、その半分。(1/2)×(4/3)×π×4^3 = $\frac{2}{3}\pi \times 64 = \frac{128}{3}\pi$ cm$^3$。

- 球の表面積は、4π×(半径)^2。半球の曲面部分は、その半分。(1/2)×4π×4^2 = 32π cm$^2$。

- 半球の底面の面積は、π×(半径)^2 = π×4^2 = 16π cm$^2$。

- 表面積は、曲面部分 + 底面 = 32π + 16π = 48π cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 円錐:

- 体積: $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ cm$^3$

- 表面積: $16\pi$ cm$^2$

(2) 半球:

- 体積: $\frac{128}{3}\pi$ cm$^3$

- 表面積: $48\pi$ cm$^2$