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(2)と(3)の問題について、それぞれ円に内接する四角形または三角形に関する角度の問題であり、指定された角 $\theta$ の大きさを求める問題である。

幾何学円内接四角形円周角の定理三角形角度
2025/7/2

1. 問題の内容

(2)と(3)の問題について、それぞれ円に内接する四角形または三角形に関する角度の問題であり、指定された角 θ\theta の大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

(2)
* 円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。円周角の定理より、∠ADC=∠ABC\angle ADC = \angle ABC 。
* 三角形 EBCEBC において、∠BEC=60∘\angle BEC = 60^{\circ} である。三角形の内角の和は180∘180^{\circ}なので、∠BCE=180∘−∠BEC−∠EBC=180∘−60∘−∠EBC=120∘−∠EBC\angle BCE = 180^{\circ} - \angle BEC - \angle EBC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle EBC = 120^{\circ} - \angle EBC
* ∠ADB=20∘\angle ADB = 20^{\circ} なので、∠ABC=θ\angle ABC = \theta である。
* 四角形 ABCDABCD が円に内接しているので、∠ADC+∠ABC=180∘\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ} が成り立つ。
* また、∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDCなので、∠ADC=20∘+∠BDC\angle ADC = 20^{\circ} + \angle BDC
* 従って、20∘+∠BDC+θ=180∘20^{\circ} + \angle BDC + \theta = 180^{\circ}
* また、CDCD と CECE は一直線なので、∠DCE=180∘−∠BCE=180∘−(120∘−θ)=60∘+θ\angle DCE = 180^{\circ} - \angle BCE = 180^{\circ} - (120^{\circ} - \theta) = 60^{\circ} + \theta
* 三角形 DCFDCF において、∠DFC=20∘\angle DFC = 20^{\circ} であるので、∠CDF=180∘−(∠DFC+∠DCF)=180∘−(20∘+60∘+θ)=100∘−θ\angle CDF = 180^{\circ} - (\angle DFC + \angle DCF) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ} + \theta) = 100^{\circ} - \theta
* 従って、∠BDC=180∘−(20∘+θ+60∘+θ)\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + \theta + 60^{\circ} + \theta)
* よって、∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC を円に内接する四角形 ABCDABCD に当てはめると、20∘+180∘−(60∘+θ)+θ=180∘20^{\circ} + 180^{\circ} - (60^{\circ} + \theta) + \theta = 180^{\circ}
* 円に内接する四角形の対角の和が180∘180^{\circ}であることから、∠ADC+θ=180∘\angle ADC + \theta = 180^{\circ} となる。
* ここで、EBEB は一直線上にあり、∠EBC\angle EBC と ∠CBA\angle CBA は一直線にあるので、180∘180^{\circ}である。
(3)
* 三角形 ADEADE において、∠DAE=20∘\angle DAE = 20^{\circ}、∠AED=41∘\angle AED = 41^{\circ} であるので、∠ADE=180∘−20∘−41∘=119∘\angle ADE = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 41^{\circ} = 119^{\circ}
* 四角形 ABCDABCD は円に内接しているので、∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} が成り立つ。
* ∠ADC=180∘−∠ADE=180∘−119∘=61∘\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 119^{\circ} = 61^{\circ}
* ∠ABC=θ\angle ABC = \theta であるので、θ+61∘=180∘\theta + 61^{\circ} = 180^{\circ} より、θ=180∘−61∘=119∘\theta = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}
* ∠ACB=19∘\angle ACB = 19^{\circ}
* 円周角の定理より、∠ACB=∠ADB=19∘\angle ACB = \angle ADB = 19^{\circ}
* ∠ADB+∠ADE=∠BDE\angle ADB + \angle ADE = \angle BDE なので、19∘+119∘=∠BDE=138∘19^{\circ} + 119^{\circ} = \angle BDE = 138^{\circ}
* θ+∠ADC=180∘\theta + \angle ADC = 180^{\circ} より、θ+(180∘−41∘−20∘)=180∘\theta + (180^{\circ} - 41^{\circ} - 20^{\circ}) = 180^{\circ}

3. 最終的な答え

(2) θ=20∘\theta = 20^{\circ}
(3) θ=22∘\theta = 22^{\circ}

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