$R^2$ の部分集合 $\{(x, y) \in R^2 | y - x^2 + 2x > |y - 1| \}$ を図示せよ。

1. 問題の内容

$R^2$ の部分集合 $\{(x, y) \in R^2 | y - x^2 + 2x > |y - 1| \}$ を図示せよ。

2. 解き方の手順

絶対値を外すために場合分けを行います。

(i) $y - 1 \geq 0$ すなわち $y \geq 1$ のとき

$y - x^2 + 2x > y - 1$

$-x^2 + 2x > -1$

$x^2 - 2x - 1 < 0$

$x^2 - 2x - 1 = 0$ を解くと、解の公式より $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ となる。

したがって、$x^2 - 2x - 1 < 0$ の解は $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$。

よって、$y \geq 1$ かつ $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ である領域。

(ii) $y - 1 < 0$ すなわち $y < 1$ のとき

$y - x^2 + 2x > -(y - 1)$

$y - x^2 + 2x > -y + 1$

$2y > x^2 - 2x + 1$

$2y > (x - 1)^2$

$y > \frac{1}{2} (x - 1)^2$

よって、$y < 1$ かつ $y > \frac{1}{2} (x - 1)^2$ である領域。

最終的に、$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ かつ $y \geq 1$ の領域と、$y < 1$ かつ $y > \frac{1}{2} (x - 1)^2$ の領域を合わせたものが答えになります。

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ かつ $y \geq 1$ の領域と、$y < 1$ かつ $y > \frac{1}{2} (x - 1)^2$ の領域を合わせた領域。