(1) 3点 $A(1, 2, 3)$, $B(2, 3, -1)$, $C(3, 1, 4)$ によって定まる平面 $ABC$ 上に点 $P(x, -6, 17)$ があるとき、$x$ の値を求めます。 (2) 4点 $A(5, 2, 5)$, $B(4, 2, 3)$, $C(3, 1, 2)$, $D(-2, -1, z)$ が同一平面上にあるとき、$z$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 3点 $A(1, 2, 3)$, $B(2, 3, -1)$, $C(3, 1, 4)$ によって定まる平面 $ABC$ 上に点 $P(x, -6, 17)$ があるとき、$x$ の値を求めます。

(2) 4点 $A(5, 2, 5)$, $B(4, 2, 3)$, $C(3, 1, 2)$, $D(-2, -1, z)$ が同一平面上にあるとき、$z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ が平面 $ABC$ 上にあるとき、$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s, t$ が存在します。

$\overrightarrow{AP} = (x-1, -8, 14)$

$\overrightarrow{AB} = (1, 1, -4)$

$\overrightarrow{AC} = (2, -1, 1)$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$x-1 = s + 2t$

$-8 = s - t$

$14 = -4s + t$

2番目と3番目の式を足すと、$6 = -3s$ となり、$s = -2$ が得られます。

$-8 = -2 - t$ より、$t = 6$ が得られます。

$x-1 = -2 + 2(6) = 10$ より、$x = 11$ が得られます。

(2) 4点 $A, B, C, D$ が同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s, t$ が存在します。

$\overrightarrow{AD} = (-7, -3, z-5)$

$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (-2, -1, -3)$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-7 = -s - 2t$

$-3 = -t$

$z-5 = -2s - 3t$

2番目の式より、$t = 3$ が得られます。

1番目の式に代入すると、$-7 = -s - 2(3)$ となり、$-7 = -s - 6$ より、$s = 1$ が得られます。

3番目の式に代入すると、$z - 5 = -2(1) - 3(3)$ となり、$z - 5 = -2 - 9 = -11$ より、$z = -6$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $x = 11$

(2) $z = -6$