正六角形OPQRSTにおいて、$\vec{OP} = \vec{p}$、$\vec{OQ} = \vec{q}$とするとき、以下の問題を解く。 (1) $\vec{OR}$, $\vec{OS}$, $\vec{OT}$をそれぞれ$\vec{p}$, $\vec{q}$を用いて表せ。 (2) $\triangle{OQS}$の重心$G_1$と$\triangle{PRT}$の重心$G_2$は一致することを証明せよ。

1. 問題の内容

正六角形OPQRSTにおいて、$\vec{OP} = \vec{p}$、$\vec{OQ} = \vec{q}$とするとき、以下の問題を解く。

(1) $\vec{OR}$, $\vec{OS}$, $\vec{OT}$をそれぞれ$\vec{p}$, $\vec{q}$を用いて表せ。

(2) $\triangle{OQS}$の重心$G_1$と$\triangle{PRT}$の重心$G_2$は一致することを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

正六角形の性質より、$\vec{PQ}=\vec{OR}$、$\vec{QR}=\vec{OS}$、$\vec{RS}=\vec{OT}$である。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OR} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = (\vec{q} - \vec{p}) - \vec{q} = -\vec{p}$

$\vec{OS} = \vec{OR} + \vec{RS}$

$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR}$

$\vec{RS} = -\vec{PQ} = -(\vec{q} - \vec{p}) = \vec{p} - \vec{q}$

$\vec{OS} = \vec{q} - \vec{p} + \vec{p} - \vec{q} = \vec{OR} + \vec{RS} = \vec{q} - \vec{p} + \vec{p} - \vec{q} = 2 \vec{OQ} - \vec{OP}$

$\vec{OS} = 2\vec{q} - \vec{p}$

$\vec{ST} = \vec{OT} - \vec{OS}$

$\vec{ST} = -\vec{OP} = -\vec{p}$

$\vec{OT} = \vec{OS} + \vec{ST} = 2\vec{q} - \vec{p} - \vec{p} = 2\vec{q} - 2\vec{p}$

$\vec{OT} = 2\vec{q} - 2\vec{p}$

(2)

$\triangle{OQS}$の重心$G_1$の位置ベクトル$\vec{OG_1}$は、

$\vec{OG_1} = \frac{\vec{OO} + \vec{OQ} + \vec{OS}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{q} + 2\vec{q} - \vec{p}}{3} = \frac{3\vec{q} - \vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{1}{3}\vec{p}$

$\vec{OP} = \vec{p}$

$\vec{OR} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OT} = 2\vec{q} - 2\vec{p}$

$\triangle{PRT}$の重心$G_2$の位置ベクトル$\vec{OG_2}$は、

$\vec{OG_2} = \frac{\vec{OP} + \vec{OR} + \vec{OT}}{3} = \frac{\vec{p} + \vec{q} - \vec{p} + 2\vec{q} - 2\vec{p}}{3} = \frac{3\vec{q} - 2\vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{2}{3}\vec{p}$

$\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = \vec{q} - \vec{p} - \vec{p} = \vec{q} - 2\vec{p}$

$\vec{RT} = \vec{OT} - \vec{OR} = 2\vec{q} - 2\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{TP} = \vec{OP} - \vec{OT} = \vec{p} - (2\vec{q} - 2\vec{p}) = 3\vec{p} - 2\vec{q}$

$\triangle{PRT}$の重心$G_2$の位置ベクトル$\vec{OG_2}$は、

$\vec{OG_2} = \frac{\vec{OP} + \vec{OR} + \vec{OT}}{3} = \frac{\vec{p} + (\vec{q} - \vec{p}) + (2\vec{q} - 2\vec{p})}{3} = \frac{3\vec{q} - 2\vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{2}{3}\vec{p}$

正六角形の各頂点の位置ベクトルを求める。

$\vec{OP} = \vec{p}$

$\vec{OQ} = \vec{q}$

$\vec{OR} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OS} = 2\vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OT} = 2\vec{q} - 2\vec{p}$

$\vec{OU} = \vec{q} - 2\vec{p}$

$\triangle{OQS}$の重心$G_1$の位置ベクトル$\vec{OG_1}$は、

$\vec{OG_1} = \frac{\vec{OO} + \vec{OQ} + \vec{OS}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{q} + (2\vec{q} - \vec{p})}{3} = \frac{3\vec{q} - \vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{1}{3}\vec{p}$

$\triangle{PRT}$の重心$G_2$の位置ベクトル$\vec{OG_2}$は、

$\vec{OG_2} = \frac{\vec{OP} + \vec{OR} + \vec{OT}}{3} = \frac{\vec{p} + (\vec{q} - \vec{p}) + (2\vec{q} - 2\vec{p})}{3} = \frac{3\vec{q} - 2\vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{2}{3}\vec{p}$

$\vec{OG_1} \neq \vec{OG_2}$

正六角形の中心を原点Oとすると、各頂点の位置ベクトルは次のようになる。

$\vec{OP} = \vec{p}$

$\vec{OQ} = \vec{q}$

$\vec{OR} = \vec{Q} - \vec{p}$

$\vec{OS} = 2\vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OT} = 2(\vec{q} - \vec{p})$

$\vec{G_1} = \frac{\vec{0} + \vec{q} + (2\vec{q} - \vec{p})}{3} = \vec{q} - \frac{1}{3}\vec{p}$

$\vec{G_2} = \frac{\vec{p} + (\vec{q}-\vec{p}) + 2(\vec{q}-\vec{p})}{3} = \frac{3\vec{q} - 2\vec{p}}{3} = \vec{q} - \frac{2}{3}\vec{p}$

$\vec{Q}-\vec{p}$でなく$\vec{p} + \vec{Q}$をRに代入し、$\vec{q}-\vec{p}$を代入

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{OR} = \vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OS} = 2\vec{q} - \vec{p}$

$\vec{OT} = 2\vec{q} - 2\vec{p}$

(2)

$\triangle{OQS}$の重心$G_1$の位置ベクトルは$\vec{q} - \frac{1}{3}\vec{p}$

$\triangle{PRT}$の重心$G_2$の位置ベクトルは$\vec{q} - \frac{2}{3}\vec{p}$

$\vec{OG_1} \neq \vec{OG_2}$なので重心は一致しない。

よって、$\triangle{OQS}$の重心$G_1$と$\triangle{PRT}$の重心$G_2$は一致しない。