台形ABCDがあり、AB=6cm, CD=3cm, DA=4cm, ∠B = ∠C = 90°である。この台形を辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、AB=6cm, CD=3cm, DA=4cm, ∠B = ∠C = 90°である。この台形を辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として回転させると、底面の半径がABの長さで高さがCDの長さである円柱から、底面の半径がABの長さで高さがCDの長さである円錐をくり抜いた立体ができる。

まず、BCの長さを求める。点AからDCに垂線を下ろし、交点をEとする。

すると、四角形ABCEは長方形になる。AEの長さはBCの長さに等しく、CEの長さはABの長さに等しい。

DEの長さはDAの長さの2乗からAEの長さの2乗を引いたルートである。

$AE = \sqrt{4^2 - (6-3)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$

よって、BC = $\sqrt{7}$cm。

回転体の体積は、底面の半径が6cm、高さが3cmの円柱の体積から、底面の半径が6cm、高さが3cmの円錐の体積を引いたものに相当する。

円柱の体積は、

$V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi (6^2)(3) = 108\pi$

円錐の体積は、

$V_{円錐} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6^2)(3) = 36\pi$

よって、求める体積は、

$V = V_{円柱} = 108\pi$ 立方センチメートルである。

3. 最終的な答え

$108$