台形ABCDがあり、$AB=6$cm, $CD=3$cm, $DA=4$cm, $\angle B = \angle C = 90^\circ$である。 この台形を辺DCを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、$AB=6$cm, $CD=3$cm, $DA=4$cm, $\angle B = \angle C = 90^\circ$である。

この台形を辺DCを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として1回転させたときにできる立体は、底面の半径がAB=6cmの円柱から、底面の半径がCD=3cmの円柱をくり抜いた形から、さらに半径3cm,高さ4cmの半球をくり抜いた形になる。

まず、半径6cm、高さ4cmの円柱の体積を求めます。

円柱の体積 = 底面積 × 高さ

$V_1 = \pi \times 6^2 \times 4 = 144\pi$

次に、半径3cm、高さ4cmの円柱の体積を求めます。

$V_2 = \pi \times 3^2 \times 4 = 36\pi$

次に、半径3cmの半球の体積を求めます。

球の体積 = $\frac{4}{3} \pi r^3$

半球の体積 = $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3$

$V_3 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{2}{3} \pi \times 27 = 18\pi$

求める体積は、$V_1 - V_2 - V_3$で計算できます。

$V = 144\pi - 36\pi - 18\pi = (144 - 36 - 18)\pi = 90\pi$

3. 最終的な答え

$90\pi \text{ cm}^3$