2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の条件を、$b \neq 0, b' \neq 0$ の場合に証明する。 (1) 2直線が平行または一致する条件が $ab' = a'b$ であること。 (2) 2直線が垂直である条件が $aa' + bb' = 0$ であること。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の条件を、$b \neq 0, b' \neq 0$ の場合に証明する。

(1) 2直線が平行または一致する条件が $ab' = a'b$ であること。

(2) 2直線が垂直である条件が $aa' + bb' = 0$ であること。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行または一致する条件

それぞれの直線の傾きを求める。

$ax + by + c = 0$ より、$by = -ax - c$ なので、$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$。よって、傾きは$-\frac{a}{b}$。

$a'x + b'y + c' = 0$ より、$b'y = -a'x - c'$ なので、$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$。よって、傾きは$-\frac{a'}{b'}$。

2直線が平行または一致するためには、傾きが等しい必要がある。したがって、

$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$

両辺に $-bb'$ をかけると、

$ab' = a'b$

(2) 2直線が垂直である条件

それぞれの直線の傾きは$-\frac{a}{b}$と$-\frac{a'}{b'}$である。

2直線が垂直であるとき、それぞれの傾きの積が $-1$ になる。

よって、

$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$

$\frac{aa'}{bb'} = -1$

$aa' = -bb'$

$aa' + bb' = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2直線が平行または一致する条件は $ab' = a'b$

(2) 2直線が垂直である条件は $aa' + bb' = 0$