円 $C: x^2 + y^2 = 25$ と直線 $l: y = 3x + k$ が与えられている。 (1) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの、定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 25$ と直線 $l: y = 3x + k$ が与えられている。

(1) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの、定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r = 5$ である。直線 $y = 3x + k$ を変形して $3x - y + k = 0$ とする。

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ 以下であることである。つまり、$d \le r$。

点 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|3(0) - (0) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

である。共有点を持つ条件は $d \le r$ より、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} \le 5$

$|k| \le 5\sqrt{10}$

$-5\sqrt{10} \le k \le 5\sqrt{10}$

(2) 円と直線が接する条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ と等しいことである。つまり、$d = r$。

したがって、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} = 5$

$|k| = 5\sqrt{10}$

$k = \pm 5\sqrt{10}$

次に接点の座標を求める。

$k = 5\sqrt{10}$ のとき、直線は $y = 3x + 5\sqrt{10}$。円と直線の交点は、連立方程式

$x^2 + y^2 = 25$

$y = 3x + 5\sqrt{10}$

を解くことで求まる。

$x^2 + (3x + 5\sqrt{10})^2 = 25$

$x^2 + 9x^2 + 30\sqrt{10}x + 250 = 25$

$10x^2 + 30\sqrt{10}x + 225 = 0$

$2x^2 + 6\sqrt{10}x + 45 = 0$

$x = \frac{-3\sqrt{10} \pm \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 2(45)}}{2} = \frac{-3\sqrt{10} \pm \sqrt{90 - 90}}{2} = \frac{-3\sqrt{10}}{2}$

$y = 3(\frac{-3\sqrt{10}}{2}) + 5\sqrt{10} = \frac{-9\sqrt{10}}{2} + \frac{10\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

接点の座標は $(\frac{-3\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2})$

$k = -5\sqrt{10}$ のとき、直線は $y = 3x - 5\sqrt{10}$。同様に計算すると、接点の座標は $(\frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{-\sqrt{10}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $-5\sqrt{10} \le k \le 5\sqrt{10}$

(2) $k = 5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(\frac{-3\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2})$

$k = -5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{-\sqrt{10}}{2})$