3点A(2, 1), B(6, 3), C(-1, 2) が与えられている。 (1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求めよ。 (2) △ABCの外心の座標と、外接円の半径を求めよ。

幾何学座標平面外心外接円
2025/7/3

1. 問題の内容

3点A(2, 1), B(6, 3), C(-1, 2) が与えられている。
(1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求めよ。
(2) △ABCの外心の座標と、外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める円の方程式を x2+y2+lx+my+n=0x^2 + y^2 + lx + my + n = 0 とおく。
3点A, B, Cを通るので、それぞれの方程式に代入して、
A(2, 1): 22+12+2l+m+n=02l+m+n=52^2 + 1^2 + 2l + m + n = 0 \Rightarrow 2l + m + n = -5
B(6, 3): 62+32+6l+3m+n=06l+3m+n=456^2 + 3^2 + 6l + 3m + n = 0 \Rightarrow 6l + 3m + n = -45
C(-1, 2): (1)2+22l+2m+n=0l+2m+n=5(-1)^2 + 2^2 - l + 2m + n = 0 \Rightarrow -l + 2m + n = -5
これらの連立方程式を解く。
2l+m+n=52l + m + n = -5 (1)
6l+3m+n=456l + 3m + n = -45 (2)
l+2m+n=5-l + 2m + n = -5 (3)
(2) - (1): 4l+2m=402l+m=204l + 2m = -40 \Rightarrow 2l + m = -20 (4)
(3) - (1): 3l+m=0m=3l-3l + m = 0 \Rightarrow m = 3l (5)
(4) に (5)を代入すると、2l+3l=205l=20l=42l + 3l = -20 \Rightarrow 5l = -20 \Rightarrow l = -4
(5)より、m=3l=3(4)=12m = 3l = 3(-4) = -12
(1)に代入すると、2(4)+(12)+n=5812+n=5n=152(-4) + (-12) + n = -5 \Rightarrow -8 - 12 + n = -5 \Rightarrow n = 15
よって、円の方程式は x2+y24x12y+15=0x^2 + y^2 - 4x - 12y + 15 = 0
(2) 円の方程式を平方完成する。
x24x+y212y+15=0x^2 - 4x + y^2 - 12y + 15 = 0
(x2)24+(y6)236+15=0(x - 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36 + 15 = 0
(x2)2+(y6)2=25(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25
よって、中心の座標は(2, 6)であり、半径は25=5\sqrt{25} = 5である。

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式: x2+y24x12y+15=0x^2 + y^2 - 4x - 12y + 15 = 0
(2) 外心の座標: (2, 6), 外接円の半径: 5

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