与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 7$ と原点に関して対称な円の方程式を求めます。 (2) 中心が直線 $y=x+5$ 上にあり、原点と点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求めます。 (3) 点 $(4, 2)$ を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 7$ と原点に関して対称な円の方程式を求めます。

(2) 中心が直線 $y=x+5$ 上にあり、原点と点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求めます。

(3) 点 $(4, 2)$ を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 原点に関して対称な円の方程式

円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 7$ の中心は $(-1, 2)$ です。この点を原点に関して対称な点 $(x', y')$ は、 $x' = -(-1) = 1$、 $y' = -2$ なので、$(1, -2)$ となります。半径は元の円と同じなので、求める円の方程式は

$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 7$

(2) 中心が直線 $y=x+5$ 上にあり、原点と点 $(1, 2)$ を通る円の方程式

円の中心を $(a, b)$ とすると、 $b = a+5$ です。円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ と表せます。

この円は原点 $(0, 0)$ を通るので、

$a^2 + b^2 = r^2$

また、点 $(1, 2)$ を通るので、

$(1-a)^2 + (2-b)^2 = r^2$

したがって、

$a^2 + b^2 = (1-a)^2 + (2-b)^2$

$a^2 + b^2 = 1 - 2a + a^2 + 4 - 4b + b^2$

$0 = 5 - 2a - 4b$

$2a + 4b = 5$

$b = a+5$ を代入すると、

$2a + 4(a+5) = 5$

$2a + 4a + 20 = 5$

$6a = -15$

$a = -\frac{5}{2}$

$b = a+5 = -\frac{5}{2} + 5 = \frac{5}{2}$

中心は $(-\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ です。

$r^2 = a^2 + b^2 = (-\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

したがって、求める円の方程式は

$(x + \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$

(3) 点 $(4, 2)$ を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式

$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は $(r, r)$ または $(-r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, -r)$ の形をしています。ただし、$r>0$です。

$x$軸と$y$軸の両方に接するので、中心の座標は $(r, r)$ の形です。半径も$r$です。

円の方程式は $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ と表せます。

この円は点 $(4, 2)$ を通るので、

$(4-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$

$16 - 8r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 12r + 20 = 0$

$(r-2)(r-10) = 0$

$r = 2, 10$

$r=2$ のとき、 $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$

$r=10$ のとき、 $(x-10)^2 + (y-10)^2 = 100$

したがって、求める円の方程式は

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$ または $(x-10)^2 + (y-10)^2 = 100$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 7$

(2) $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$

(3) $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$ または $(x-10)^2 + (y-10)^2 = 100$