台形ABCDを辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求めます。ただし、AB = 6 cm, CD = 3 cm, DA = 4 cm, ∠B = ∠C= 90°です。円周率はπとします。

1. 問題の内容

台形ABCDを辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求めます。ただし、AB = 6 cm, CD = 3 cm, DA = 4 cm, ∠B = ∠C= 90°です。円周率はπとします。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として1回転させると、円柱から円錐をくり抜いたような立体ができます。

まず、BCの長さを求めます。ABからCDを引くと、6-3=3cmです。

次に、三平方の定理を用いてBCの長さを求めます。DAを斜辺とすると、

$BC = \sqrt{DA^2 - (AB-CD)^2} = \sqrt{4^2 - (6-3)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ cmです。

したがって、BC=$\sqrt{7}$ cmです。

次に、できる立体の体積を求めます。

回転してできる円柱の半径はAB=6cm、高さはCD=3cmなので、体積は

$V_{円柱} = \pi \times (6)^2 \times 3 = 108\pi$ cm$^3$です。

回転してできる円錐の半径はAB-CD=3cm、高さはBC=$\sqrt{7}$cmなので、体積は

$V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi \times (3)^2 \times \sqrt{7} = 3\sqrt{7}\pi$ cm$^3$です。

しかし、BCは回転軸と垂直ではありません。

この台形を回転させて出来る立体は、半径6cm高さ3cmの円柱から、半径3cm高さ$\sqrt{7}$cmの円錐をくり抜いたものとは異なります。

台形ABCDにおいて、AからDCに垂線を下ろし、その交点をEとすると、DE=6-3=3cmとなります。直角三角形ADEにおいて、AD=4cm, DE=3cmなので、AE=$\sqrt{4^2-3^2}$=$\sqrt{7}$cmです。

回転させてできる図形は、半径6cm,高さ3cmの円柱から、半径6cm高さ$\sqrt{7}$cmの円柱から円錐をくり抜いたものではなく、円柱から円錐を取り除いたものです。

したがって、円柱の体積は$\pi * 6^2 * 3 = 108\pi$

円錐の体積は$\frac{1}{3}\pi * 6^2 * \sqrt{7} = 12\sqrt{7}\pi$

体積は$108\pi - 12\sqrt{7}\pi$

しかし、CDを軸に回転させるので、AからCDへの垂線の長さが円柱の半径となり、ABが半径になるので、半径6cm、高さ3cmの円柱の体積から、半径3cm、高さ$\sqrt{7}$cmの円錐の体積を引くことになります。

円柱の体積は $V_{円柱} = \pi \times 6^2 \times 3 = 108\pi$ cm$^3$です。

円錐の体積は $V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times \sqrt{7} = 3\sqrt{7}\pi$ cm$^3$です。

したがって、求める立体の体積は、$108\pi - 3\sqrt{7}\pi = (108-3\sqrt{7})\pi$ cm$^3$です。

3. 最終的な答え

$(108-3\sqrt{7})$

108 - 3√7