ABを直径とする円Oの周上に2点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$, BD = CDのとき、$\angle ACD$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

ABを直径とする円Oの周上に2点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$, BD = CDのとき、$\angle ACD$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$は直径に対する円周角なので、$90^\circ$です。

したがって、$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$となります。

次に、BD = CDより、$\angle CBD = \angle BCD$です。また、$\angle BOD = \angle COD$でもあります。

$\angle BAC$と$\angle BDC$は同じ弧BCに対する円周角なので、$\angle BDC = \angle BAC = 50^\circ$です。

$\angle BDC = \angle BDA + \angle ADC = 50^\circ$となります。

BD = CDより、$\angle CBD = \angle BCD = x$とおくと、$\angle BDC = 180^\circ - 2x$です。よって、$180^\circ - 2x = 50^\circ$なので、$2x = 130^\circ$, つまり、$x = 65^\circ$です。

$\angle BCD = 65^\circ$となります。

$\angle BCA = 90^\circ$なので、$\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 65^\circ - 90^\circ$ではありません。

円周角の定理より、$\angle CBD = \angle CAD$、$\angle BCD = \angle BAD$

$\angle ABC = 40^\circ$より、$\angle CAD = \angle CBD = \frac{1}{2}\angle COD$

$\angle BCD = \angle BAD$

$\angle ACD = \angle BAD - \angle BAC$

BD=CDより、$\angle CBD = \angle DBC$

$\angle ABC = 40$より、$\angle CAD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle DOC$

$\angle BAC = 50^\circ$

円周角の定理から、$BD = CD$より$\angle BAD = \angle CAD + \angle BAC = 45^\circ$

$\angle CAD = \angle CBD = x$

$\angle ACD = \angle ABD = 45^\circ$

$\angle BAD= \angle BAC + \angle CAD$ = 50+$\angle CAD$

$\angle BDA = \angle BCA = \angle BAD = 45^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ACD = 45^\circ$