問題3は、2点 $(2, 5)$ と $(a, b)$ を結ぶ線分を $1:3$ の比に内分する点が $(1, 4)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題3は、2点 $(2, 5)$ と $(a, b)$ を結ぶ線分を $1:3$ の比に内分する点が $(1, 4)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

線分を内分する点の座標を求める公式を利用します。2点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は、以下の式で与えられます。

$$P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$

この問題では、$A(2, 5)$、$B(a, b)$ を $1:3$ に内分する点が $(1, 4)$ なので、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot a}{1+3} = 1$$

$$\frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot b}{1+3} = 4$$

これを解いて、$a$ と $b$ の値を求めます。

まず、$a$ についての式を解きます。

$$\frac{6+a}{4}=1$$

$$6+a = 4$$

$$a = 4 - 6$$

$$a = -2$$

次に、$b$ についての式を解きます。

$$\frac{15+b}{4}=4$$

$$15+b = 16$$

$$b = 16 - 15$$

$$b = 1$$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 1$