平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をL、辺ABを2:3に内分する点をM、線分MCを4:15に内分する点をNとする。このとき、3点D, L, Nが一直線上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をL、辺ABを2:3に内分する点をM、線分MCを4:15に内分する点をNとする。このとき、3点D, L, Nが一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とする。

点Lは線分ACを2:3に内分するので、

$\overrightarrow{AL} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{d}) = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}$

点Mは線分ABを2:3に内分するので、

$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{5}\vec{b}$

$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM} = (\vec{b} + \vec{d}) - \frac{2}{5}\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{b} + \vec{d}$

点Nは線分MCを4:15に内分するので、

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \frac{4}{19}\overrightarrow{MC} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{4}{19}(\frac{3}{5}\vec{b} + \vec{d}) = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{12}{95}\vec{b} + \frac{4}{19}\vec{d} = (\frac{38}{95} + \frac{12}{95})\vec{b} + \frac{4}{19}\vec{d} = \frac{50}{95}\vec{b} + \frac{4}{19}\vec{d} = \frac{10}{19}\vec{b} + \frac{4}{19}\vec{d}$

$\overrightarrow{DL} = \overrightarrow{AL} - \overrightarrow{AD} = (\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}) - \vec{d} = \frac{2}{5}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{d}$

$\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AD} = (\frac{10}{19}\vec{b} + \frac{4}{19}\vec{d}) - \vec{d} = \frac{10}{19}\vec{b} - \frac{15}{19}\vec{d} = \frac{5}{19}(2\vec{b} - 3\vec{d})$

$\overrightarrow{DL} = \frac{2}{5}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{d} = \frac{1}{5}(2\vec{b} - 3\vec{d})$

したがって、$\overrightarrow{DN} = \frac{5}{19} \cdot 5 \overrightarrow{DL} = \frac{25}{19} \overrightarrow{DL}$

$\overrightarrow{DN} = k\overrightarrow{DL}$ (kは実数)となるので、点D, L, Nは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点D, L, Nは一直線上にある。