直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点Pを通る傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l$、$m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA、Bとする。 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点Pを通る傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2直線 $l$、$m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA、Bとする。

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を求める。直線 $l$ の式に $x = -4$ を代入して $y$ 座標を計算する。

$y = -\frac{1}{3}(-4) + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

したがって、点Pの座標は $(-4, 4)$ である。

次に、傾きが $-2$ で点P $(-4, 4)$ を通る直線 $m$ の式を求める。直線 $m$ の式を $y = -2x + b$ とおく。

点Pの座標を代入すると、

$4 = -2(-4) + b$

$4 = 8 + b$

$b = 4 - 8 = -4$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -2x - 4$ である。

(2) 点Aの座標を求める。直線 $l$ の式 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ に $y = 0$ を代入して $x$ 座標を計算する。

$0 = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}x = \frac{8}{3}$

$x = 8$

したがって、点Aの座標は $(8, 0)$ である。

次に、点Bの座標を求める。直線 $m$ の式 $y = -2x - 4$ に $y = 0$ を代入して $x$ 座標を計算する。

$0 = -2x - 4$

$2x = -4$

$x = -2$

したがって、点Bの座標は $(-2, 0)$ である。

$\triangle ABP$ の面積を求める。底辺をABとすると、ABの長さは $8 - (-2) = 10$ である。高さは点Pの $y$ 座標である $4$ である。

$\triangle ABP$ の面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x - 4$

(2) $20$