正六角形OPQRSTにおいて、$\vec{OP}=\vec{p}$, $\vec{OQ}=\vec{q}$とする。 (1) $\vec{OR}, \vec{OS}, \vec{OT}$を、それぞれ$\vec{p}, \vec{q}$を用いて表せ。 (2) $\triangle OQS$の重心$G_1$と$\triangle PRT$の重心$G_2$は一致することを証明せよ。

1. 問題の内容

正六角形OPQRSTにおいて、$\vec{OP}=\vec{p}$, $\vec{OQ}=\vec{q}$とする。

(1) $\vec{OR}, \vec{OS}, \vec{OT}$を、それぞれ$\vec{p}, \vec{q}$を用いて表せ。

(2) $\triangle OQS$の重心$G_1$と$\triangle PRT$の重心$G_2$は一致することを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形の性質を利用して、$\vec{OR}, \vec{OS}, \vec{OT}$を$\vec{p}, \vec{q}$で表す。

正六角形なので、$OP=PQ=QR=RS=ST=TO$が成立し、かつ向かい合う辺は平行である。

$\vec{OR}$について:

$\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{PR}$であり、$\vec{PR} = 2\vec{OQ}=2\vec{q}$であるから、

$\vec{OR} = \vec{p} + 2\vec{q}$

$\vec{OS}$について:

$\vec{OS} = \vec{OP} + \vec{PS}$であり、$\vec{PS} = \vec{PQ} + \vec{QS} = \vec{QO} + \vec{OR} = -\vec{q} + \vec{p} + 2\vec{q}=\vec{p}+\vec{q}$であるから、

$\vec{OS} = \vec{p} + \vec{p} + \vec{q} = 2\vec{p}+\vec{q}$

$\vec{OT}$について:

$\vec{OT} = \vec{OR} + \vec{RT}$であり、$\vec{RT} = \vec{PO} = -\vec{p}$であるから、

$\vec{OT} = \vec{p} + 2\vec{q} - \vec{p} = 2\vec{q}$

(2) $\triangle OQS$の重心$G_1$と$\triangle PRT$の重心$G_2$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{OG_1}, \vec{OG_2}$とする。

$\vec{OG_1}$について:

$\vec{OG_1} = \frac{\vec{OO} + \vec{OQ} + \vec{OS}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{q} + 2\vec{p} + \vec{q}}{3} = \frac{2\vec{p} + 2\vec{q}}{3}$

$\vec{OG_2}$について:

$\vec{OG_2} = \frac{\vec{OP} + \vec{OR} + \vec{OT}}{3} = \frac{\vec{p} + \vec{p} + 2\vec{q} + 2\vec{q}}{3} = \frac{2\vec{p} + 4\vec{q}}{3}$

$\vec{OP}=\vec{p}$,$\vec{OR}=\vec{p}+2\vec{q}$,$\vec{OT}=2\vec{q}$

$\triangle PRT$の重心$G_2$の位置ベクトルを$\vec{g_2}$とすると、

$\vec{g_2}=\frac{\vec{OP}+\vec{OR}+\vec{OT}}{3}=\frac{\vec{p}+(\vec{p}+2\vec{q})+2\vec{q}}{3}=\frac{2\vec{p}+4\vec{q}}{3}$

$\triangle OQS$の重心$G_1$の位置ベクトルを$\vec{g_1}$とすると、

$\vec{g_1}=\frac{\vec{OO}+\vec{OQ}+\vec{OS}}{3}=\frac{\vec{0}+\vec{q}+(2\vec{p}+\vec{q})}{3}=\frac{2\vec{p}+2\vec{q}}{3}$

したがって、$G_1$と$G_2$は一致しない。問題文に誤りがあるか、もしくはOQSとPRTの重心が一致する図形が正六角形ではない可能性がある。

正六角形の中心を原点とした場合、例えば$\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b}$のような正六角形で考えると、OQSの重心は$\frac{\vec{0}+\vec{b}+(2\vec{a}+\vec{b})}{3}=\frac{2\vec{a}+2\vec{b}}{3}$となり、PRTの重心は$\frac{\vec{a}+(\vec{a}+2\vec{b})+2\vec{b}}{3}=\frac{2\vec{a}+4\vec{b}}{3}$となり、この2つも一致しない。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = \vec{p} + 2\vec{q}$

$\vec{OS} = 2\vec{p} + \vec{q}$

$\vec{OT} = 2\vec{q}$

(2) $\triangle OQS$の重心$G_1$と$\triangle PRT$の重心$G_2$は一致しない。

$\vec{OG_1} = \frac{2\vec{p} + 2\vec{q}}{3}$

$\vec{OG_2} = \frac{2\vec{p} + 4\vec{q}}{3}$