$\triangle ABC$において、$b=2$, $c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, $A=45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$b=2$, $c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, $A=45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて、$a$の長さを求める。余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})\cos{45^\circ}$

$a^2 = 4 + (6+2+2\sqrt{12}) - 4(\sqrt{6}+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 2(2\sqrt{3}+2)$

$a^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 4$

$a^2 = 8$

$a = 2\sqrt{2}$ (a>0より)

(2) 正弦定理を用いて、$B$の角度を求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{45^\circ}} = \frac{2}{\sin{B}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin{B}}$

$4 = \frac{2}{\sin{B}}$

$\sin{B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$ または $150^\circ$

(3) $B = 30^\circ$ の場合、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

$B = 150^\circ$ の場合、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 150^\circ = -15^\circ$

$C$ は負にならないので、$B = 30^\circ$が適切。

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{2}$

$B = 30^\circ$

$C = 105^\circ$