コップの高さが14.2cm、底の半径が2.5cm、口の半径が3.6cmの切頂円錐の体積を求めます。

1. 問題の内容

コップの高さが14.2cm、底の半径が2.5cm、口の半径が3.6cmの切頂円錐の体積を求めます。

2. 解き方の手順

切頂円錐の体積は、元の円錐から切り取られた円錐の体積を引くことで計算できます。

まず、元の円錐の高さを求めます。相似な三角形の比を利用します。元の円錐の高さを$H$、切り取られた円錐の高さを$h$とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\frac{h}{2.5} = \frac{H}{3.6}$

また、 $H - h = 14.2$ です。これら二つの式を連立させて $H$ と $h$ を求めます。

一つ目の式より、$h = \frac{2.5}{3.6}H$ となります。これを二つ目の式に代入すると、$H - \frac{2.5}{3.6}H = 14.2$

$\frac{3.6 - 2.5}{3.6}H = 14.2$

$\frac{1.1}{3.6}H = 14.2$

$H = \frac{14.2 \times 3.6}{1.1} \approx 46.47$

次に $h$ を求めます。

$h = H - 14.2 = 46.47 - 14.2 = 32.27$

元の円錐の体積$V_1$は、

$V_1 = \frac{1}{3} \pi (3.6)^2 H = \frac{1}{3} \pi (3.6)^2 \times 46.47$

切り取られた円錐の体積$V_2$は、

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (2.5)^2 h = \frac{1}{3} \pi (2.5)^2 \times 32.27$

切頂円錐の体積$V$は、$V = V_1 - V_2$です。

$V = \frac{1}{3} \pi [(3.6)^2 \times 46.47 - (2.5)^2 \times 32.27]$

$V = \frac{1}{3} \pi [16.64952 - 201.6875]$

$V = \frac{1}{3} \pi [599.8272 - 201.6875] = \frac{1}{3} \pi [398.1397] \approx 417.96$

3. 最終的な答え

417.96 立方センチメートル