点 $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$ と $P_2 = (x_2, y_2, z_2)$ が与えられたとき、以下の3つの問題を解く。 (1) $|P_2 - P_1|$ を求めよ。 (2) $P_1$ と $P_2$ が垂直であるための条件を求めよ。 (3) $P_1$ と $P_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ が、次の式で与えられることを示せ。 $S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$

1. 問題の内容

点 $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$ と $P_2 = (x_2, y_2, z_2)$ が与えられたとき、以下の3つの問題を解く。

(1) $|P_2 - P_1|$ を求めよ。

(2) $P_1$ と $P_2$ が垂直であるための条件を求めよ。

(3) $P_1$ と $P_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ が、次の式で与えられることを示せ。

$S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$

2. 解き方の手順

(1) $|P_2 - P_1|$ を求める。

$P_2 - P_1 = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

したがって、

$|P_2 - P_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(2) $P_1$ と $P_2$ が垂直であるための条件を求める。

$P_1$ と $P_2$ が垂直であるとき、内積は0になる。

$P_1 \cdot P_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

これが垂直であるための条件である。

(3) $P_1$ と $P_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ を求める。

$P_1$ と $P_2$ が張る平行四辺形の面積は、ベクトルの外積の大きさで与えられる。

外積 $P_1 \times P_2$ を計算する。

$P_1 \times P_2 = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$

面積 $S$ は、$|P_1 \times P_2|$ で与えられる。

$S = |P_1 \times P_2| = \sqrt{(y_1z_2 - z_1y_2)^2 + (z_1x_2 - x_1z_2)^2 + (x_1y_2 - y_1x_2)^2}$

行列式で書き換えると

$S = \sqrt{\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2}$

3. 最終的な答え

(1) $|P_2 - P_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(2) $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

(3) $S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$